Enunciado

Determine a área da região delimitada pela curva y   =   x   s e n   x e pelo eixo das abscissas (veja a figura a seguir) para

a. 0   ≤ X ≤   π .

b. π   ≤ X ≤   2 π .

C. 2 π   ≤ X ≤   3 π .

d. Que padrão pode ser reconhecido aqui? Qual é a área entre a curva e o eixo das abscissas para n π ≤   x   ≤   ( n   +   1 ) π , sendo n um inteiro arbitrário não negativo? Justifique sua resposta.

Passo 1

A questão pede que a gente descubra a área da região delimitada pela curva, isso é o mesmo do que calcularmos a integral definida e iremos fazer isso nas letras “a”, “b” e “c”.Os resultados dessas integrais pode ou não seguir um padrão, caso a gente perceba que obedece um padrão teremos informação suficiente para responder a letra “d”.

Passo 2

Vamos resolver primeiramente a letra “a”, para isso aplicamos integral definida na função y pelos limites de x:

  1. 0   ≤ X ≤   π

∫ 0 π   x   s e n   x d x

Resolveremos essa integral por partes como se fosse uma integral indefinida para facilitar os cálculos :

u = x

d u = x ' d x

d u = d x

d v = s e n   x   d x

v = ∫ s e n   x   d x

v = - c o s   x

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ x   s e n   x   d x = x . - c o s   x -   ∫ - c o s   x   d x

= - x . c o s   x + ∫ c o s   x   d x

= - x . c o s   x + s e n   x

Agora aplicamos a integral definida:

∫ 0 π   x   s e n   x d x = - x . c o s   x + s e n   x 0 π

= - π . c o s   π + s e n   π - 0 . c o s   0 + s e n   0

= π - 0

= π

Passo 3

Agora iremos resolver a letra “b” de forma parecida de como resolvemos acima, mas mudando os valores dos limites de x:

b. π   ≤ X ≤   2 π .

∫ π 2 π   x   s e n   x d x

Como ja sabemos o resultado da integral indefinida apenas aplicaremos a integral definida:

∫ π 2 π   x   s e n   x d x = - x . c o s   x + s e n   x π 2 π

= - 2 π . c o s   2 π + s e n   2 π - - π . c o s   π + s e n   π

= - 2 π - π

= - 3 π

O motivo de ter aparecido negativo é a posiçao da função no quadrante. Como não existe área negativa multiplicamos por:   - 1

= - 3 π . ( - 1 )

= 3 π

Passo 4

Para resolver a letra “c” faremos de forma parecida de como resolvemos as duas letras acima, mas mudando os valores dos limites de x:

C. 2 π   ≤ X ≤   3 π

∫ 2 π 3 π   x   s e n   x d x

Como ja sabemos o resultado da integral indefinida apenas aplicaremos a integral definida:

∫ 2 π 3 π   x   s e n   x d x = - x . c o s   x + s e n   x 2 π 3 π

= - 3 π . c o s   3 π + s e n   3 π - - 2 π . c o s   2 π + s e n   2 π

= 3 π + 2 π

= 5 π

Passo 5

Agora para resolver a letra “d” é preciso observar um padrão que é seguido, se compararmos os resultado é possível notar que a area é a soma dos limites de x, por exemplo:

n π ≤   x   ≤   ( n   +   1 ) π

A area vai ser : ∫ n π ( n   +   1 ) π x   s e n x d x

podemos ver que nas letras “a”,”b” e “c” o padrão de resultados aponta que:

∫ n π ( n   +   1 ) π x   s e n x d x = n π + ( n + 1 ) π

= n + n + 1 π

= ( 2 n + 1 ) π

Resposta

a. ∫ 0 π   x   s e n   x d x = π

b. ∫ π 2 π   x   s e n   x d x = 3 π

c. ∫ 2 π 3 π   x   s e n   x d x = 5 π

d.

∫ n π ( n   +   1 ) π x   s e n x d x = ( 2 n + 1 ) π

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Avalie a integral indefinida. Ilustre e verifique se a sua resposta é razoável usando o gráfico da função e de sua antiderivada (C=0). ∫ x 3 e x 2 d x
Use a integração por partes para provar a fórmula de redução. ∫ x 2 + a 2 n d x = x x 2 + a 2 n 2 n - 1 + 2 n a 2 2 n + 1 ∫ x 2 + a 2 n - 1 d x( n ≠ - 1 2 )
Avalie a integral. ∫ π 4 π 2 xcsc 2 ⁡ x d x
Primeiro faça uma substituição e então use a integração por partes para avaliar a integral. ∫ x 5 e x 2 d x
Avalie a integral. ∫ x 2 cos ⁡ m x d x