23. Suponha que, para todo (x, y), f(x, y, x^2 + y^2) = 0 . Mostre que ∂f/∂x|(1,1, 2) = ∂f/∂y(1,1, 2)

Passo 1

Nossa função é a seguinte:

f x , y ,   x 2 + y 2 = 0

Pra facilitar nossa vida, vamos expressar f x 2 + y , 2 y ,   2 x - y como f ( u , v ,   w ) . Para isso, faremos uma substituição.

u = x

Derivando em relação a x :

∂ u ∂ x = 1

Derivando em relação a y :

∂ u ∂ y = 0

O termo v fica assim:

v = y

Derivando em relação a x :

∂ v ∂ x = 0

Derivando em relação a y :

∂ v ∂ y = 1

Por fim, vamos ver como fica o w :

w = x 2 + y 2

Derivando em relação a x :

∂ w ∂ x = 2 x

Derivando em relação a y :

∂ w ∂ y = 2 y

Então podemos escrever o seguinte:

f u , v ,   w = 0

Passo 2

Para derivar em relação a x vamos usar a regra do produto, assim:

∂ f ∂ x = 0

Para achar ∂ f ∂ x , vamos usar a regra da cadeia, olha só:

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ x

Do Passo 1:

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u × 1 + ∂ f ∂ v × 0 + ∂ f ∂ w × 2 x

Agora é só substituir na equação lá de cima!

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u + 2 x ∂ f ∂ w = 0

Passo 3

Pra finalizar, vamos derivar em relação a y e para isso bora usar a regra do produto, assim:

∂ f ∂ y = 0

Para achar ∂ f ∂ y , vamos usar a regra da cadeia, olha só:

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ y

Do Passo 1:

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ u × 0 + ∂ f ∂ v × 1 + ∂ f ∂ w × 2 y

Agora é só substituir na equação lá de cima!

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ v + 2 y ∂ f ∂ w = 0

Passo 4

Agora vamos verificar que ∂ f ∂ x 1,1 , 2 = ∂ f ∂ y 1,1 , 2 .

u = x 2 + y , v = 2 y     e     w = 2 x - y

Para x = 1 ,   y = 1 e z = 2 :

u = 2 , v = 2 e z = 1

Do passo 2:

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u 2,2 , 1 + 2 ∂ f ∂ w ( 2,2 , 1 ) = 0

Como ∂ f ∂ x = 0 :

∂ f ∂ u 2,2 , 1 + 2 ∂ f ∂ w 2,2 , 1 = 0   ( i )

Analogamente;

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u 2,2 , 1 + 2 ∂ f ∂ w 2,2 , 1

Isto é,

∂ f ∂ u 2,2 , 1 + 2 ∂ f ∂ w 2,2 , 1 = 0     ( i i )

Agora é só juntar ( i ) e ( i i ) :

∂ f ∂ u 2,2 , 1 + 2 ∂ f ∂ w 2,2 , 1 = ∂ f ∂ u 2,2 , 1 + 2 ∂ f ∂ w 2,2 , 1

Por fim,

∂ f ∂ u 2,2 , 1 = ∂ f ∂ u 2,2 , 1

Pra ficar igual ao enunciado, vamos voltar para x e y ( x = 1 ,   y = 1 e z = 2 ) :

∂ f ∂ x 1,1 , 2 = ∂ f ∂ y ( 1,1 , 2 )

Pronto! Verificamos

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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