Enunciado

17. Seja g dada por g (x , y) = (x^2 + y^2) f (u , v) , onde u = 2 x e v = x + 2 y . Verifique que

(del g)/(del x) = 2 x f (u , v) + (x^2 + y^2) [2 (del f)/(del u) + (del f)/(del v)]

Passo 1

Nossa função é a seguinte:

g (x , y) = (x^2 + y^2) f (u , v)

Como u = 2 x e v = x + 2 y :

g (x , y) = (x^2 + y^2) f (u , v)

Como temos um produto de funções, vamos usar a regra do produto para poder derivar. Vem comigo!

(del g)/(del x) = (2 x + 0) xx f (u , v) + (x^2 + y^2) (del f (u , v))/(del x)

Isto é,

(del g)/(del x) = 2 x f (2 x , x + 2 y) + (x^2 + y^2) (del f (u , v))/(del x)

Agora vamos partir para achar (del f (u , v))/(del x) .

Passo 2

(del f)/(del x) (u , v) = (del f)/(del u) (del u)/(del x) + (del f)/(del v) (del v)/(del x)

Do enunciado, temos:

u = 2 x

Derivando em relação a x :

(del u)/(del x) = 2

Agora vamos ver para o v

v = x + 2 y

Derivando em relação a y :

(del v)/(del x) = 1

Substituindo na primeira Equação desse Passo:

(del f)/(del x) (u , v) = 2 (del f)/(del u) + (del f)/(del v)

Passo 3

Agora vamos juntar com que achamos no Passo 1.

(del g)/(del x) = 2 x f (2 x , x + 2 y) + (x^2 + y^2) (del f (u , v))/(del x)

Assim,

(del g)/(del x) = 2 x f (2 x , x + 2 y) + (x^2 + y^2) (2 (del f)/(del u) + (del f)/(del v))

Então ta verificado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize as equações 7 para determinar del z // del x e del z // del y .x^2 + 2 y^2 + 3 z^2 = 1
Utilize as equações 7 para determinar del z // del x e del z // del y .y z + x ln y = z^2
A temperatura em um ponto x , y de uma chapa de metal é dada por T x , y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto ( 2,1
Supondo que a função diferenciável y = f ( x ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar sua derivada d y d x .a) 9 x 2 + 4 y 2 = 36
Supondo que a função diferenciável y = f ( x ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar sua derivada d y d x .b) 2 x 2 - 3 y 2 = 5 x y