Enunciado

Suponha que você receba uma oferta para trabalhar por apenas um mês. Qual das seguintes formas de pagamento você prefere?

I. Um milhão de dólares no fim do mês.

II. Um centavo de dólar no primeiro dia do mês, dois centavos no segundo dia, quatro centavos no terceiro dia, e, em geral, 2 n - 1   centavos de dólar no n-ésimo dia.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu duas ofertas de trabalhos interessantes. Na primeira, a gente trabalharia por um mês e receberia um milhão de dólares no fim do mês.

Na segunda, a gente trabalharia por um mês, mas receberia um centavo de dólar no primeiro dia do mês, dois centavos no segundo dia, quatro centavos no terceiro dia, e, em geral, 2 n - 1   centavos de dólar no n-ésimo dia.

Bem, eu não sei você, mas eu preferiria ser pago na opção que desse mais dinheiro haha. Então, vamos supor que é isso que a questão está pedindo, ok? Sendo assim, na opção 1 temos:

1.000.000,00   $ / m ê s

Na opção 2 temos:

2 n - 1   c e n t → d i a   n

Perceba que as duas opções estão em unidades de medida diferentes. Na opção 2 não temos nem o quanto se ganha acumulado no mês, somente o quanto se ganha no dia de número n ! Então, daqui em diante o que vamos fazer é pôr a opção 2 na mesma unidade de medida da opção 1 pra poder comparar!

Vamos lá!

Passo 2

Suponha que o mês tenha 30 dias. Então vamos ter, pra todos os dias, do dia 1 ao 30 , a seguinte sequência:

2 1 - 1   c e n t → d i a   1 2 2 - 1   c e n t → d i a   2 2 3 - 1   c e n t → d i a   3 2 4 - 1   c e n t → d i a   4 2 5 - 1   c e n t → d i a   5 ⋮ 2 30 - 1 c e n t → d i a   30

Bem, então pra saber o quanto vamos ganhar no mês inteiro, basta fazer:

2 1 - 1   c e n t + 2 2 - 1   c e n t + 2 3 - 1   c e n t + … 2 30 - 1   c e n t 30   d i a s

Ali em cima, temos nada mais nada menos do que um somatório! E ali em baixo, temos exatamente 1 mês! A segunda opção então é equivalente a:

∑ n = 1 30 2 n - 1     c e n t / m ê s

Como um dólar são 100 centavos, a opção 2 vale:

0,01 ∙ ∑ n = 1 30 2 n - 1     $ / m ê s

O próximo e último passo vai ser encontrar o quanto vale esse somatório! Partiu?

Passo 3

O somatório que temos que encontrar o valor é:

∑ n = 1 30 2 n - 1 = S n

Mas isso aí em cima, é a soma dos termos de uma P.G. de razão 2 , e termo inicial 1 , com 30 termos. Logo:

S n = a 1 ∙ q n - 1 q - 1 = 1 2 30 - 1 2 - 1

S n = 2 30 - 1

S n =   107374182 3  

Substituindo esse valor, temos pra opção 2 :

0,01 ∙ ∑ n = 1 30 2 n - 1     $ / m ê s

0,01 ∙ S n     $ / m ê s

0,01 ∙ 1.073.741.823     $ / m ê s

O que nos dá:

10.737.418,23     $ / m ê s

Agora compara galera:

O p ç ã o   I → 1.000.000,00   $ / m ê s O p ç ã o   I I → 10.737.418,23   $ / m ê s

O que será que é melhor, ganhar um milhão no mês ou dez milhões? Opção I I é a vencedora, claro!

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A   o p ç ã o   I I   a   é   m e l h o r

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