Enunciado

Suponha que f x ≤ M para todo x , onde M é uma constante, use o teorema do “sanduíche” para provar que lim x → 0 ⁡ x 2 f x = 0

Passo 1

Pelos dados do enunciado podemos fazer a seguinte afirmação:

0 ≤ f x ≤ M

Passo 2

Agora vamos tirar o módulo de f x e multiplicar x 2 em toda a expressão.

- M ≤ f x ≤ M

- M ≤ f x ≤ M ∙ x 2

- x 2 M ≤ x 2 f x ≤ x 2 M

Passo 3

Agora apliquemos limite de x tendendo a 0 em toda a expressão e resolvemos os limites.

lim x → 0 ⁡ - x 2 M ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 f x ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 M

- ( 0 ) 2 M ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 f x ≤ ( 0 ) 2 M

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 f x ≤ 0

Resposta

Como lim x → 0 ⁡ - x 2 M que é menor que lim x → 0 ⁡ x 2 f x e lim x → 0 ⁡ x 2 M que é maior que lim x → 0 ⁡ x 2 f x convergem para 0 , então pelo teorema do “sanduíche”   lim x → 0 ⁡ x 2 f x é igual 0 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite, se existir. lim x → 0 ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x x
Use o teorema do “sanduíche” para encontrar o limite. lim x → 3 ⁡ g x ,s eg x + 4 2 3 - x 4 para todo x .
Prove que a função secante é contínua em seu domínio.
Use o teorema do “sanduíche” para encontrar o limite. lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x
Dado: - sin ⁡ x ≤ f x ≤ 2 + sin ⁡ x para todo x no intervalo aberto -π ,0 . Ache lim x → - π 2 ⁡ f x .