Enunciado

Prove que a função secante é contínua em seu domínio.

Passo 1

Para provarmos que a função secante é contínua em seu domínio precisamos mostrar que se a for um número real qualquer dentro de seu domínio, temos:

lim x → a ⁡ sec ⁡ x = sec ⁡ a

Para provar precisamos usar da seguinte relação trigonométrica: sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x , que pode rescrever nosso limite da seguinte maneira:

lim x → a ⁡ sec ⁡ x = lim x → a ⁡ 1 cos ⁡ x

Passo 2

Agora basta provar a função cosseno como continua também se a for um número real qualquer, enquanto o 1 por ser uma constante podemos considera-lo como uma função contínua. Assim se individualmente as duas funções são consideradas contínuas, a sua combinação como uma função racional também será. Para provar a continuidade vamos usar da seguinte relação:

lim x → a ⁡ f ( x ) = lim t → 0 ⁡ f ( t + a )

Passo 3

Agora vamos provar que a função cosseno é contínua se a for um número real qualquer.

lim x → a ⁡ cos ⁡ ( x ) = lim t → 0 ⁡ cos ⁡ ( t + a )

cos ⁡ ( t + a ) pode ser entendido como a seguinte equação:

cos ⁡ ( t + a ) = cos ⁡ t cos ⁡ a - sin ⁡ t sin ⁡ a

lim t → 0 ⁡ cos ⁡ ( t + a ) = lim t → 0 ⁡ cos ⁡ t cos ⁡ a - sin ⁡ t sin ⁡ a

lim t → 0 ⁡ cos ⁡ ( t + a ) = cos ⁡ ( 0 ) - sin ⁡ ( 0 ) sin ⁡ a

lim t → 0 ⁡ cos ⁡ ( t + a ) = ( 1 ) cos ⁡ a - ( 0 ) sin ⁡ a

lim t → 0 ⁡ cos ⁡ ( t + a ) = cos ⁡ a

Assim está provado que a função cosseno é contínua.

Resposta

Como as funções 1 e cosseno são contínuas se a for um número real qualquer, a combinação das duas funções como uma função racional é contínua. Então a função secante é contínua desde que a faça parte de seu domínio e então cos ⁡ a ≠ 0 .

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