Se

∫ 0 π 4 tan 6 ⁡ ( x ) sec ⁡ x d x = I

Expresse o valor de

∫ 0 π 4 tan 8 ⁡ x sec ⁡ x d x

Em termo de I

Passo 1

Não fica apavorado pensando que não consegue resolver isso nem se Newton descer e te ensinar, vamos te ajudar nisso. Vamos resolver a integral ∫ tan 8 ⁡ x s e c ( x ) d x pelo método de integração por partes (vamos calcular primeiro sem os limites de integração para depois aplica-los

∫ tan 8 ⁡ ( x ) sec ⁡ x d x

Seja u = tan 7 ⁡ ( x ) , temos que d u = 7 tan 6 ⁡ ( x ) sec 2 ⁡ ( x ) d x

Seja d v = tan ⁡ x sec ⁡ x d x , temos que v = sec ⁡ x

Então

∫ tan 8 ⁡ ( x ) sec ⁡ x d x = tan 7 ⁡ ( x ) sec ⁡ x - 7 ∫ tan 6 ⁡ ( x ) sec 2 ⁡ ( x ) sec ⁡ x d x

Vamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: sec 2 ⁡ ( x ) = tan 2 ⁡ ( x ) + 1 . Então, substituindo

∫ tan 8 ⁡ x sec ⁡ x d x = tan 7 ⁡ x sec ⁡ x - 7 ∫ tan 6 ⁡ x sec 2 ⁡ x sec ⁡ x d x = tan 7 ⁡ x sec ⁡ x - 7 ∫ tan 6 ⁡ x tan 2 ⁡ x + 1 sec ⁡ x d x = tan 7 ⁡ x sec ⁡ x - 7 ∫ tan 8 ⁡ x sec ⁡ x + tan 6 ⁡ x sec ⁡ x d x

Separando a integral em duas, ficamos com

∫ tan 8 ⁡ x sec ⁡ x d x = tan 7 ⁡ x sec ⁡ x - 7 ∫ tan 8 ⁡ x sec ⁡ x d x - 7 ∫ tan 6 ⁡ x sec ⁡ x d x

8 ∫ tan 8 ⁡ x sec ⁡ x d x = tan 7 ⁡ x sec ⁡ x - 7 ∫ tan 6 ⁡ x sec ⁡ x d x

∫ tan 8 ⁡ x sec ⁡ x d x = tan 7 ⁡ x sec ⁡ x 8 - 7 8 ∫ tan 6 ⁡ x sec ⁡ x d x

Passo 2

Agora que calculamos sem os limites de integração, só falta adicionarmos os limites, daí ficamos com

∫ 0 π 4 tan 8 ⁡ ( x ) sec ⁡ x d x = tan 7 ⁡ x sec ⁡ x 8 0 π 4 - 7 8 ∫ 0 π 4 tan 6 ⁡ x sec ⁡ x d x = 2 8 - 7 8 I = 2 - 7 I 8

Resposta

∫ 0 π 4 tan 8 ⁡ x sec ⁡ x d x = 2 - 7 I 8

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