Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 0 3 1 x 2 - 6 x + 5   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos a convergência da integral imprópria e, se possível, calculá-la.

Observe que x 2 - 6 x + 5 = ( x - 1 ) ( x - 5 ) . Desta forma, no intervalo de integração (de 0 a 3 ), a função tem problemas apenas em x = 1 . Desta forma,

∫ 0 3 1 x 2 - 6 x + 5   d x = ∫ 0 1 1 x 2 - 6 x + 5   d x + ∫ 1 3 1 x 2 - 6 x + 5   d x

Para que a integral da esquerda seja convergente, ambas da direita devem convergir!

Passo 2

Vamos procurar primeiro uma primitiva para a função:

∫ 1 x 2 - 6 x + 5   d x = ∫ 1 ( x - 1 ) ( x - 5 ) d x

Vamos usar frações parciais:

1 ( x - 1 ) ( x - 5 ) = A x - 1 + B x - 5 = A + B x + ( - 5 A - B ) ( x - 1 ) ( x - 5 )

Assim,

A + B = 0 - 5 A - B = 1

Da primeira equação tiramos que A = - B . Substituindo na segunda: 5 B - B = 1 , logo B = 1 / 4 e A = - 1 / 4 . Assim,

∫ 1 ( x - 1 ) ( x - 5 ) d x = 1 4 ∫ 1 x - 5 - 1 x - 1 d x = 1 4 ln ⁡ x - 5 x - 1

Passo 3

Vamos analisar primeiro a integral ∫ 0 1 1 x 2 - 6 x + 5   d x :

lim t → 1 - ⁡ ∫ 0 t 1 x 2 - 6 x + 5   d x = lim t → 1 - ⁡ 1 4 ln ⁡ x - 5 x - 1 = ∞

Portanto, essa integral diverge. Assim, nem precisamos calcular a outra integral e já sabemos que ∫ 0 3 1 x 2 - 6 x + 5   d x é divergente.

Resposta

Diverge.

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