Enunciado

Um tanque está cheio de água. Encontre o trabalho necessário para bombear a água pela saída. Use a densidade da água igual a 62,5   l b / p é 3 .

Passo 1

Vamos pensar no trabalho necessário para bombear um pequeno “retângulo” de água para fora do tanque:

d W = h   d M

Então vamos começar encontrando uma expressão para a massa de um desses pequenos retângulos:

d M = ρ   d V

E para calcular o volume do “retângulo” temos que multiplicar a sua área por uma pequena espessura d x :

d M = ρ A   d x = ρ L 2 a   d x

A largura L = 8   p é s do retângulo é constante, mas o comprimento a varia junto com a “profundidade” x . Podemos escrever a em função de x se lembrarmos da equação para esse trecho da circunferência:

a = r 2 - x 2 = 4 - x 2

Então a nossa fórmula é:

d M = ρ L 2 a d x = 62,5 8 2 4 - x 2 d x

E a altura pela qual esse “retângulo” deve ser erguida é a profundidade x somada ao 1   p é do cano por onde a água é bombeada:

d W = h   d M

d W = x + 1 62,5 8 2 4 - x 2 d x

d W = 1000   4 - x 2 x + 1 d x

Passo 2

Beleza, já temos o trabalho necessário para bombear uma desses retângulos de água que está a uma profunidade x qualquer.

Para calcular o trabalho total, só precisamos integrar essa expressão com x variando de x = 0 (na superfície) até x = 2   p é s (no fundo do tanque):

W = ∫ d W

W = ∫ 0 2 1000   4 - x 2 x + 1 d x

W = 1000 ∫ 0 2 4 - x 2 x + 1   d x

Vamos separar essa integral em duas:

W = 1000 ∫ 0 2 4 - x 2 d x + ∫ 0 2 x 4 - x 2   d x

Agora preciamos resolver cada uma delas.

Passo 3

Vamos começar com a integral da esquerda:

∫ 0 2 4 - x 2 d x

Aqui estamos pegando a equação para a parte de cima de uma circunferência de raio r = 4 = 2 e integrando ela quando x vai de 0 até 2 :

Ou seja, estamos simplesmente calculando a área de um quarto de círculo de raio 2 !

∫ 0 2 4 - x 2 d x = 1 4 π r 2 = 1 4 π 2 2 = π

Passo 4

Agora vamos olhar para a integral da direita:

I = ∫ 0 2 x 4 - x 2   d x

Essa já não tem um significado geométrico tão óbvio. Então vamos tentar uma substituição:

u = 4 - x 2         ⇒         x = 2 → u = 0 x = 0 → u = 4

d u = - 2 x   d x         ⇒         d x = - 1 2 x d u

Então, substituindo as variáveis e os limites de integração:

I = ∫ 4 0 x u   - 1 2 x d u = - 1 2 ∫ 4 0 u   d u

Para nos livrarmos daquele sinal, vamos trocar a ordem dos limites de integração:

I = 1 2 ∫ 0 4 u   d u = 1 3 u 3 2 4 0

I = 1 3 4 3 2 - 0 3 2 = 8 3

Passo 5

Agora vamos voltar à nossa equação para o trabalho total:

W = 1000 ∫ 0 2 4 - x 2 d x + ∫ 0 2 x 4 - x 2   d x

Substituindo os resultados que já calculamos:

W = 1000 π + 8 3 = 5,8.10 3   p é s ∙ l b

Perceba que aqui estamos “ignorando” a aceleração da gravidade, que normalmente apareceria na fórmula do trabalho. Mas é comum, em cálculo, que o p é s ∙ l b seja usado como unidade de energia.

Resposta

O trabalho necessário para bombear a água pela saída é 5,8   .   10 3   p é s ∙ l b .

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