Enunciado

Um tanque cheio com água tem a forma de um paralelepípedo retangular com 5m de profundidade por 15 m de largura e por 25 m de comprimento. Ache o trabalho necessário para bombear a água no tanque a um nível de 1 m acima da superfície do tanque.

Passo 1

Bem, para esse exercício imagine um tanque retangular, ele está cheio com água até 5 m de altura, queremos jogar essa água para fora, mas para isso ela precisa ser levantada 1 m de altura para sair por um cano. Conforme a água vai saindo a altura para deslocar a água é 1 m mais a altura de água que já desceu.

Agora vamos dar um referencial, o eixo x vertical com origem no topo do tanque e com sentido positivo para baixo, já que nosso nível de água desce e assim resulta numa maior altura para a água ser levantada.

Passo 2

Vamos descobrir o trabalho contra a gravidade realizado para mover uma camada fina de água de espessura ∆ x . Pensamos na coluna como uma pilha de n camadas finitíssimas.

Nosso volume da camada tem uma base retangular com largura l = 15 , profundidade p = 25 m e com altura ∆ x .

V o l u m e   d a   c a m a d a = b a s e ⋅   a l t u r a =   p ⋅ l ⋅ ∆ x

M a s s a   d a   C a m a d a = d e n s i d a d e ⋅   v o l u m e = d ⋅   p ⋅ l ⋅ ∆ x

F o r ç a   n a   c a m a d a = f ( x ) = g ⋅ m a s s a = g ⋅ d ⋅ p ⋅ l ⋅ ∆ x

O trabalho requerido para levantar cada camada dessa é igual a força vezes a distância a ser percorrida, que nesse caso é dada por x   +   1 , já que além do nível de água reduzida ainda temos mais um metro para a água sair, assim, nossa equação fica:

W = f x ⋅ ( x + 1 )

W =   g ⋅ d ⋅ p ⋅ l ⋅ ∆ x ⋅ ( x + 1 )

Como queremos esvaziar todo o tanque, o nosso intervalo de x irá de 0 a 5 , a profundidade do tanque.

Passo 3

Agora vem a menina dos olhos desse exercício, queremos bombear todas as camadas desse tanque e para isso usamos a integral no trabalho:

W = ∫ 0 5 g ⋅ d ⋅ p ⋅ l ⋅ d x ⋅ ( x + 1 )

Simbolicamente o ∆ x se transforma no d x da integral. Podemos extrair as constantes, e ficamos com:

W = g d p l ∫ 0 5 ( x + 1 ) d x

Sabendo que a g = 9,81 m/s² e a densidade da água d = 1000 kg/m³, podemos substituir os valores:

W = 9,81 ⋅ 1000 ⋅ 25 ⋅ 15 ∫ 0 5 x + 1 d x

W = 3678750   ∫ 0 5 x + 1 d x

Passo 4

Agora podemos resolver a integral encontrando as primitivas da função:

W = 3678750   1 2 x 2 + x 0 5

E por fim fazer a subtração com os limites da integral:

W = 3678750   [ 1 2 5 2 + 5 - ( 1 2 0 2 + 0 ) ]

W = 3678750 ⋅ 35 2 = 64378125   J

Resposta

W = 64378125   J

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