Enunciado

Uma corda com 60 m e pesando 6 kg/m está pendurada verticalmente na parede de um poço. Se um peso de 45 kg for levantado pela corda, ache o trabalho realizado ao se puxar a corda e o peso para cima do poço.

Passo 1

Vamos começar dando um referencial, o eixo y vertical com origem no topo do poço e com sentido positivo para baixo.

Passo 2

Agora vamos descobrir o trabalho contra a gravidade realizado para mover um trecho fino da corda de comprimento ∆ y . Pensamos na corda como n trechos de comprimentos bem finos. Para a massa além do peso de 45 kg teremos o da corda, que diminui conforme é puxada e é encontrada multiplicando o seu comprimento pela sua massa por metro.

Assim, podemos concluir que:

m a s s a   e r g u i d a   p o r   t r e c h o = 6 y + 45

f o r ç a   n a   c a m a d a = g ⋅ m a s s a = g ⋅ ( 6 y + 45 )

O trabalho requerido para levantar cada trecho da corda é igual é igual a força vezes a distância a ser percorrida ∆ y . Assim nossa equação fica:

W = f ⋅ ∆ y

W =   g ⋅ ( 6 y + 45 ) ⋅ ∆ y

Como queremos puxar a corda toda para cima do poço, nosso y irá variar de [0, 60].

Passo 3

Agora vem a menina dos olhos desse exercício, todos os trechos dessa corda e para isso usamos a integral no trabalho:

W = ∫ 0 60 g ⋅ ( 6 y + 45 ) ∆ y

Simbolicamente o ∆ y se transforma no d y da integral. Sabendo que a gravidade é g = 9,81 m/s² podemos substituir os valores e extrair as constantes da integral:

W = 9,81 ∫ 0 60 ( 6 y + 45 )   d y

Passo 4

Agora podemos resolver a integral encontrando as primitivas da função:

W = 9,81   6 ⋅ 1 2 y 2 + 45 y 0 60

E por fim fazer a subtração com os limites da integral:

W = 9,81   3 60 2 - 0 + 45 ( 60 - 0 )

W = 9,81 ⋅ 13500

W = 132435   J

Resposta

W = 132435   J

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