Enunciado

20. Um tanque cilíndrico circular reto de 2   m de diâmetro e 3   m de profundidade está cheio de água e deve ser esvaziado pela parte superior. Determinar o trabalho necessário para esvaziar o tanque:

a) Considerando que a água seja deslocada por meio de um êmbolo, partindo da base do tanque;

b) por bombeamento

Passo 1

Qual a diferença entre fazermos as questões por meio do êmbolo e por meio do bombeamento?

Pelo êmbolo, temos que definir a força variável e integrar diretamente!

Por bombeamento, faremos partições e depois a Soma de Riemann!

Vem comigo!!

Aqui um Cilindro!!

Passo 2

Vamos começar a fazer pelo Êmbolo.

Antes de fazermos quaisquer contas, iremos determinar os pontos de referência e como nossa intuição sugere, vamos fazer com que o ponto zero seja no fundo do poço e o ponto 3 m seja na borda do tanque.

Agora precisamos determinar a área desse elementinho de volume pequeno.

Ora, o raio dele não muda durante a subida, então a sua área é, mas precisamos definir quanto é o raio.

r = d 2 = 2 2 = 1

A = π r 2 = π 1 2 = π

Conforme a água vai escapando pela borda o peso da água vai diminuindo, então quando o embolo deslocar x metros, sobrará de água ( 3 - x ) .

Então o volume após o deslocamento de x metros é:

V x = π ( 3 - x )

E multiplicando pela peso da água por m 3 que é 9807 N / m 3 , temos que a força é:

F x = π × 9807 3 - x = 9807 π 3 - x

Integrando a força variável de x = 0 até x = 3   m . Temos:

W = ∫ 0 3 9807 π 3 - x d x = 9807 π ∫ 0 3 3 - x d x = 9807 π 3 x - x 2 2 3 0

W = 9807 π 9 - 9 2 = 9807 π 9 2 = 44.131,5 π J

Passo 3

Agora por bombeamento e faremos a Soma de Riemann.

Para isso vamos considerar uma partição de P de 0 , 3 . Admitiremos o fundo recipiente como a origem do nosso sistema.

E consideraremos vários planos horizontais cortando esse cilindro, nas altura y = y j , j = 0,1 , … , n .

A espessura dos elementinhos determinados por esses planos horizontais é ∆ y i .

Esses elementinhos conforme sobem não mudam o seu raio, então a área de um elementinho é dada por:

A = π r 2 = π 1 2 = π

Para acharmos o volume, precisamos multiplicar pela espessura do elementinho.

V = π ∆ y i

Agora com o volume calculado, vamos achar a força, que é igual ao peso do elemetinho!

F = 9807 π ∆ y i

Só precisamos achar o quanto o elementinho precisa deslocar para chegar no topo, se ele está na posição   y i é porque falta 3 - y i para chegar a borda do tanque!

Então o trabalhinho sobre esse elementinho é:

w = 9807 π ∆ y i 3 - y i

Agora para calcularmos o trabalho, precisamos somar todos esses elementinhos!!

W = ∑ j = 1 n 9807 π ∆ y i 3 - y i

Essa soma é apenas aproximada, para acharmos realmente o trabalho precisamos integrar!!

W = ∫ 0 3 9807 π 3 - y d y = 9807 π ∫ 0 3 3 - y d y = 9807 π 3 y - y 2 2 3 0

W = 9807 π 9 - 9 2 = 9807 π 9 2 = 44.131,5 π J

Resposta

  1. 44.131,5 π J
  2. 44.131,5 π J
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