Enunciado

32. Uma chapa é limitada pela curva y = x 2 3 e a reta y = 1 , no plano x y , com o eixo dos y apontando para cima e suas escalas medidas em metros. A chapa está submersa em óleo, cujo peso 9.600   N e w t o n s   p o r   m 3 , com a reta y = 1 sobre a superfície do óleo. Qual é a força do óleo em cada lado da chapa?

Passo 1

Para essas questão, usaremos a fórmula seguinte:

F = ∫ c d w k - y [ f y - g y ]

Em que g y é a função que limita a comporta a esquerda e f y é a função que limita a comporta à direita.

c limita a comporta por baixo!

d limita a comporta por cima!

w é o peso por unidade de volume

k é o nível do líquido.

Passo 2

Vamos desenhar o “gráfico” dessa chapa, e assim conseguiremos tirar as informações que estão nessa integral, com origem na origem do plano cartesiano.

Essa curva tracejada é a função y = x 2 3 .

.

A comporta está em vermelho, é delimitada em baixo pelos pontos ( 0,0 ) , pois a função parte da origem.

Em cima é delimitada pela reta y = 1 ! Agora, meu caro gafanhoto, podemos descobrir o   c e d .

Então,

c = 0

d = 1

A comporta é delimitada à esquerda pela função x = - y 3

À direita a chapa é limitada por uma função bem parecida, só muda o sinal! x = y 3

Agora, vamos isolar as nossas funções! É o passo mais fácil!

g y = - y 3

f y = y 3

Para finalizar nossa análise, apenas temos que ver o nível da água, em azul. Ora, o nível de água é o mesmo da altura da comporta segundo o enunciado.

k = 1

Passo 3

Substituindo tudo na integral e sabendo que o peso da água por metro cúbico é w = 9 . 600   N e w t o n .

F = ∫ c d w k - y f y - g y d y = ∫ 0 1 9 600 ( 1 - y ) y 3 - ( - y 3 ) d y = 9 600 × 2 ∫ 0 1 ( 1 - y ) y 3 d y

b

Focando só na integral, temos:

F = 19 . 200 ∫ 0 1 y 3 2 - y 5 2 d y = 19.200 2 5 y 5 2 - 2 7 y 7 2 1 0 = 19.200   2 5 - 2 7 = 19.200   × 4 3 5

= 2 . 194.28   N

Resposta

F = 2.194.28   N

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