Enunciado

Suponha uma abertura passando pelo centro da terra. Um corpo de massa m é atirado na abertura. Denote por r a distância do centro da terra à massa no instante t . Veja a figura 1.25.

a) Sejam M a massa da terra e M r a massa da porção da terra limitada por uma esfera de raio r . A força da gravidade atuando em m é F = - k M r m / r ² , em que o sinal de subtração indica que a força é uma atração. Use este fato para mostrar que

F = - k m M R ³ r

Sugestão: Suponha que a terra seja homogênea, isto é, a densidade é constante. Use m a s s a = d e n s i d a d e . v o l u m e .

b) Use a segunda lei de Newton e o resultado da parte (a) para deduzir a equação diferencial

d 2 r d t 2 + ω 2 r = 0

Em que ω 2 = k M R 3 = g R .

Passo 1

Olha que loucura o que ta acontecendo aqui, a gente meio que abre um buraco que atravessa a Terra e joga um objeto de massa m lá dentro........???

Beleza beleza, vamos aceitar e entender cada um dos itens

a) - Temos que a massa da Terra vale M

- r é a distância do objeto ao centro da Terra

- A massa da partezinha da Terra que ta na esfera de raio r é M r

E aí temos que a força gravitacional em m vale F = - k M r m r 2     ( I )

Agora o nosso objetivo é provar que F = - k m M R 3 r     ( I I )

Bora lá!

Passo 2

Vamos usar a sugestão do enunciado utilizando a fórmula m a s s a = d e n s i d a d e . v o l u m e

Lembrando que o volume de uma esfera de raio r é 4 3 . π . r ³ , temos que a massa da Terra é

M = d . 4 3 π . R 3 ( I I I )

E também temos a massa M r :

M r = d . 4 3 . π . r 3   ( I V )

De ( I I I ) , temos:

d . 4 3 π = M R ³     ( V )

Substituindo ( V ) em ( I V ) :

M r = M R ³ . r 3     ( V I )

Agora vamos substituir ( V I ) em ( I ) :

F = - k M r m r 2     ( I )

F = - k M R ³ . r 3 m r 2  

Cortando os termos em comum:

F = - k M R ³ . r . m

F = - k m M R 3 r    

Que é exatamente a expressão ( I I ) !! Então realmente, a expressão ( I ) pode ser escrita como a expressão ( I I ) , e pra isso só utilizamos a fórmula de densidade em M e M r , iháááá :P

Passo 3

b) Nesse item, precisamos deduzir essa equação diferencial:

d 2 r d t 2 + ω 2 r = 0

Em que ω 2 = k M R 3 = g R .

Usando a segunda lei de Newton, temos

F = m . a

Mas a aceleração é a segunda derivada da posição, então:

F = m . d 2 r d t 2

Também temos a força gravitacional (aquela que comprovamos no item anterior) agindo sobre o corpo, então:

m . d 2 r d t 2 = - k m M R ³ r

d 2 r d t 2 = - k M R ³ r

Mas temos ω 2 = k M R 3 , então, substituindo:

d 2 r d t 2 = - ω ² r

E, por fim:

d 2 r d t 2 + ω 2 r = 0

É issooo, ta provado hihi

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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