Enunciado

Um taque reservatório de água tem o formato de um cilindro com diâmetro de 10 m. Ele está montado de forma que as secções transversais circulares são verticais. Se a profundidade de água é 7 m, qual porcentagem da capacidade total está sendo usada?

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui temos uma situação, onde temos um cilindro servindo de reservatório e queremos saber o seu área, para que assim podemos determinar qual a porcentagem do área total está sendo utilizado.

Aqui temos uma representação do taque:

Para saber a porcentagem da capacidade total que está sendo usada devemos usar a fórmula da área utilizada sobre a área total:

% = A π r 2

Passo 2

Vamos achar a área utilizada A , podemos achar através da integral:

A = ∫ a b f x d x

Veja bem, vamos integrar em função da equação da circunferência, que é:

x 2 + y 2 = r 2

x 2 + y 2 = 5 2

x 2 + y 2 = 25

Vamos calcular em função de y , assim podemos usar os limites de integração como y = - 5 e y = 2 , como os valores de a e b , respectivamente, que são as retas que estão no limite da área que queremos:

f y = 25 - y 2

Entretanto aqui vemos que f ( y ) corresponde apenas ao lado direito da curva, assim podemos fazer a área ser duas vezes a integral, assim pegamos a outra parte da figura:

A = 2 ∫ a b f y d y = 2 ∫ - 5 2 25 - y 2 d y

Passo 3

Bem, agora podemos usar a Regra da Substituição Trigonométrica, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, e também vamos usar a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração, vemos que temos uma expressão da forma a 2 - x 2 , podemos então usar a mudança de variável usando:

y = a sen ⁡ θ = 5 sen ⁡ θ

θ = arcsen ⁡ y 5

Vamos agora achar diferencial de y , derivando:

d y = 5 cos ⁡ θ d θ

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 25 - y 2 d y = ∫ 25 - 5 sen ⁡ θ 2 5 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 25 - 25 sen 2 ⁡ θ 5 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 25 ( 1 - sen 2 ⁡ θ )   5 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 25 ( cos 2 ⁡ θ )   5 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 5 cos ⁡ θ 5 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 25 cos 2 ⁡ θ d θ

= ∫ 25 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

= ∫ 25 2 d θ + ∫ 25 cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Passo 4

Vamos calcular cada uma separadamente:

A primeira é simples, para achar as primitivas da função, vamos usar uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

Assim:

∫ 25 2 d θ = 25 2 θ + C

Com a segunda vamos fazer uma substituição, pois o cosseno possui uma constante dentro dele:

u = 2 θ

Derivando:

d u = 2 d θ

d θ = d u 2

Vamos substituir:

∫ 25 cos ⁡ 2 θ 2 d θ = ∫ 25 cos ⁡ u 4 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Aplicando:

∫ 25 cos ⁡ u 4 d u = 25 4 ∫ cos ⁡ u d u = 25 4 sen ⁡ u + C

Juntando:

∫ 25 2 d θ + ∫ 25 cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 25 2 θ + 25 4 sen ⁡ u + C

Passo 5

Não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 25 2 d θ + ∫ 25 cos ⁡ 2 θ 2 d θ

= 25 2 θ + 25 4 sen ⁡ u + C

= 25 2 θ + 25 4 sen ⁡ 2 θ + C

= 25 2 arcsen ⁡ y 5 + 25 4 sen ⁡ 2 arcsen ⁡ y 5 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

A = 2 ∫ - 5 2 25 - y 2 d y

= 2 ∫ - 5 2 25 2 d θ + ∫ - 5 2 25 cos ⁡ 2 θ 2 d θ

= 2 25 2 arcsen ⁡ y 5 + 25 4 sen ⁡ 2 arcsen ⁡ y 5 - 5 2

= 2 25 2 arcsen ⁡ 2 5 + 25 4 sen ⁡ 2 arcsen ⁡ 2 5 - 25 2 arcsen ⁡ - 5 5 + 25 4 sen ⁡ 2 arcsen ⁡ - 5 5

= 2 9,7265 - - 25 π 4 ≈ 58,72

Passo 6

Pronto, agora é só voltar à fórmula da porcentagem da capacidade total que está sendo usada:

A π r 2 = 58,72 π ∙ 5 2 ≈ 0,747 ≈ 74,8 %

Resposta

A porcentagem da capacidade total que está sendo usada é de aproximadamente 74,8 % .

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