Enunciado

Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

79. a n = n ⋅ s e n 1 n

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo tranquilo? Que bom, então vamos nessa!

Nessa questão, temos que calcular o limite da sequência para ver se ela é convergente. No caso dessa sequência, nós precisamos reescrevê-la primeiro

a n = n ⋅ s e n 1 n = s e n 1 n 1 / n

Desse modo, quando n → ∞ nós temos uma indeterminação do tipo 0 0 porque 1 n → 0 e s e n 1 n → s e n   0 = 0 .

Passo 2

Por causa dessa indeterminação, nós precisamos usar a regra de L’Hôpital para calcular o limite:

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ s e n 1 n 1 / n = l i m n → ∞ d d n s e n 1 n d d n ( 1 / n ) = l i m n → ∞ -   1 2 n 3 / 2 c o s 1 n -   1 2 n 3 / 2 = l i m n → ∞ c o s 1 n = c o s 0 = 1

Ou seja, essa sequência converge e tem limite igual a 1 .

Resposta

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