Teoria e exemplos: Prove que lim n → ∞ x^(1/n) = 1, (x > 0) .

Passo 1

Fala, galerinha! Mais uma questão pra gente resolver juntos. Preparados? Então, vem comigo!

A questão pede pra provar que l i m n   →   ∞     x 1 / n = 1 ,   ( x > 0 ) . Pra fazer isso, nós vamos tomar o logaritmo em ambos os lados porque vai facilitar bastante o cálculo do limite:

l n ( x 1 / n ) = l n x n

Passo 2

Como x é mantido fixo enquanto a gente toma o limite, então l n x vai ser constante. Assim, temos

l i m n   →   ∞     l n ( x 1 / n ) = l i m n   →   ∞     l n x n = l n x l i m n   →   ∞     1 n = 0

Agora, tomamos a função exponencial em ambos os lados para obter l i m n   →   ∞     x 1 / n :

l i m n   →   ∞     x 1 / n = l i m n   →   ∞     e l n ( x 1 / n ) = e 0 = 1

Prontinho, resultado provado! Até a próxima pessoal.

Resposta

Ver a discussão acima.

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