Enunciado

Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.

124. a 1 = 1 , a n + 1 = 2 a n - 3

Passo 1

Fala, pessoal! Preparados para detonar essa questão? Bora lá!

Para descobrir se a sequência converge, vamos testar se ela é monotônica e limitada. Antes de fazer isso, vamos escrever os primeiros termos dessa sequência para tentar encontrar um padrão:

a 2 = 2 a 1 - 3 = 2 - 3 = - 1 = - 2 2 + 3

a 3 = 2 a 2 - 3 = - 2 - 3 = - 5 = - 2 3 + 3

a 4 = 2 a 3 - 3 = - 10 - 3 = - 13 = - 2 4 + 3

a 5 = 2 a 4 - 3 = - 26 - 3 = - 29 = - 2 5 + 3

Ótimo, conseguimos um padrão:

a n = - 2 n + 3

Passo 2

Agora, vamos testar se a sequência é limitada. Temos

2 ≤ 2 n ⇒ - 2 ≥ - 2 n

⇒ 1 =   - 2 + 3 ≥   - 2 n + 3 = a n

⇒   a n   ≤   1

Então, a sequência tem um limitante superior. E quanto ao inferior? Bom, se a gente olhar para os valores dos primeiros termos da sequência que nós calculamos no Passo 1, dá pra ter uma noção de que a sequência sempre vai ficando mais e mais negativa, então ela não deve ter um limitante inferior. Nós vamos provar isso no próximo passo.

Passo 3

Vamos supor que a sequência tenha um limitante inferior - N , já que a maioria dos termos da sequência são negativos. Então,

- N < a n = - 2 n + 3

⇒ - N - 3 < - 2 n

Vamos multiplicar por 2 em ambos os lados:

2 ( - N - 3 ) < - 2 ⋅ 2 n

⇒ - 2 N - 6 < - 2 n + 1

Somando 3 em ambos os lados:

⇒ - 2 N - 3 < - 2 n + 1 + 3 = a n + 1

Mas,

2 N + 3 > N ⇒ - 2 N - 3 <   - N

Ou seja, nós mostramos que o próximo termo da sequência tem um outro limitante, que é menor que o primeiro. Então, como o limitante não é único, nós podemos concluir que a sequência não é limitada inferiormente. Logo, ela não converge.

Resposta

Diverge.

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