Enunciado

Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.

119. a n = ( ( - 1 ) n + 1 ) ( n   +   1 n )

Passo 1

Fala, galera! Para saber se a sequência converge, precisamos verificar se ela é limitada e monotônica. Ou seja, se ela tem limitantes inferior e superior e se ela é crescente ou decrescente.

Vamos começar reescrevendo um pouquinho essa sequência

a n = ( ( - 1 ) n + 1 ) ( n   +   1 n ) = ( ( - 1 ) n + 1 ) ( 1 + 1 n )

Passo 2

Para saber se a função é limitada, vamos notar que

0 < 1 n ≤ 1 ⇒ 1 < 1 + 1 n ≤ 2

e que

0 ≤ ( - 1 ) n + 1 ≤ 2

As duas desigualdades têm o mesmo limite superior, mas o inferior é diferente. Quando multiplicamos qualquer número por zero, o resultado também é zero. Então, zero é o menor valor que ( ( - 1 ) n + 1 ) ( 1 + 1 n ) pode assumir e 2 é o maior:

0 ≤ ( ( - 1 ) n + 1 ) ( 1 + 1 n ) ≤ 2

Então, a sequência é limitada.

Passo 3

Por último, vamos testar a monotonicidade. Para isso, vamos escrever

a n = ( ( - 1 ) n + 1 ) ( n   +   1 n )

e

a n + 1   = ( ( - 1 ) n + 1 + 1 ) ( n   +   2 n   +   1 )   = ( - ( - 1 ) n + 1 ) ( n   +   2 n   +   1 )  

Agora, tomamos a diferença entre a n + 1 e a n :

a n + 1 - a n = ( - ( - 1 ) n + 1 ) ( n   +   2 n   +   1 ) - ( ( - 1 ) n + 1 ) ( n   +   1 n )

⇒ a n + 1 - a n = ( - ( - 1 ) n + 1 ) ( n   +   2 n   +   1 ) + ( - ( - 1 ) n - 1 ) ( n   +   1 n )

⇒ a n + 1 - a n = - ( - 1 ) n n   +   2 n   +   1 + n   +   1 n   + n   +   2 n   +   1   - n   +   1 n

⇒ a n + 1 - a n = - ( - 1 ) n n 2   +   2 n   +   n 2 + 2 n + 1 n ( n   +   1 )   + n 2   +   2 n   -   n 2 - 2 n   - 1 n ( n   +   1 )

⇒ a n + 1 - a n =   - ( - 1 ) n 2 n 2   +   4 n   +   1 n ( n   +   1 )   - 1 n ( n   +   1 )

Para n par, temos a seguinte relação:

a n + 1 - a n =   - 2 n 2   +   4 n   +   1 n ( n   +   1 )   - 1 n ( n   +   1 )   = -   2 n 2   +   4 n   +   2 n ( n   +   1 )   <   0

Para n ímpar, temos a seguinte relação:

a n + 1 - a n =   2 n 2   +   4 n   +   1 n ( n   +   1 )   - 1 n ( n   +   1 )   =   2 n   +   4 n   +   1   >   0

Então, temos que

a n + 1 - a n < 0   , para n par

a n + 1 - a n > 0   , para n ímpar

Assim, vemos que ora a sequência é crescente, ora ela é decrescente. Como não segue um padrão de crescimento ou decrescimento, então ela não é monotônica. Esse é um bom exemplo de uma sequência que diverge mesmo sendo limitada.

E aí, gostou desta resolução? Responde Aí!

Resposta

Diverge.

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