Enunciado

Teoria e exemplos: Nos Exercícios 111-114, determine se a sequência é monotônica e se é limitada.

113. a n =   2 n   3 n n !

Passo 1

Fala, galerinha. Bora pra mais uma questão? Nós temos que mostrar que a sequência é crescente ou decrescente e que ela é limitada inferiormente e superiormente. Vamos lá!

Antes de mais nada, vamos reescrever a sequência de um modo mais conveniente

a n =   2 n   3 n n ! =   ( 2 ⋅ 3 ) n n ! =   6 n n !

Vamos buscar o limite inferior. Temos

6 ≤ 6 n ⇒ 6 n ! ≤ 6 n n !

Por sua vez, 0 < 6 n ! , de modo que a sequência é limitada inferiormente

0 < 6 n ! ≤ 6 n n !

Passo 2

Tranquilo até agora? Beleza, então vamos procurar o limitante superior. Temos

a 1 = 6 1 ! = 6

a 2 = 6 2 2 ! = 18

a 3 = 6 3 3 ! = 36

a 4 = 6 4 4 ! = 54

a 5 = 6 5 5 ! = 64,8

a 6 = 6 6 6 ! = 64,8

a 7 = 6 7 7 ! = 41,67

Então, a partir de n = 6 , a sequência começa a decrescer. Vamos provar isso no próximo passo. Já que o maior valor que a sequência assume é 64,8 , esse vai ser o limitante superior dela.

Passo 3

Agora, vamos ver se a sequência é monotônica. Para isso, calculamos o termo a n + 1 :

a n + 1 =   2 n + 1   3 n + 1 ( n + 1 ) ! = 2     ⋅   2 n   ⋅   3   ⋅   3 n ( n + 1 ) ! = 6 ⋅ 6 n ( n + 1 ) n !

Calculando a diferença com a n , obtemos

a n + 1 - a n = 6 ⋅ 6 n ( n + 1 ) n ! - 6 n n ! = 6 n + 1 - 1 6 n n !

a n + 1 - a n = 6 - n - 1 n + 1 6 n n ! = 5   -   n n   +   1 6 n n !

Temos que analisar o sinal de 5 - n . Mas, para n < 5 ⇒ 0 < 5 - n . Para n = 5 ⇒ 5 - n = 0 e, para n > 5 ⇒ 5 - n < 0 . Ou seja, o sinal de a n + 1 - a n muda conforme o valor de n e não é possível concluir que a sequência é sempre crescente ou decrescente. Então, ela não é monotônica.

Resposta

Não monotônica e limitada.

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que a sequência definida por a 1 = 1 ,a n + 1 = 3 - 1 a n é crescente e que a n3 para todo n . Deduza que a n é convergente e calcule seu limite.
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 1 - n 2 + n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = n 3 - 3 n + 3
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 2 + - 1 n n