Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(n = 1)^(oo) (sqrt(n^2 - 1))/(n^3 + 2 n^2 + 5)

Passo 1

Começemos com um momento #ficaadica.

#ficaadica: Termos algébricos polinomiais no numerador e no denominador??? Teste de Comparação no Limite!

Nosso termo geral da série é

a_n = (sqrt(n^2 - 1))/(n^3 + 2 n^2 + 5)

Vamos buscar um termo geral b_n para a série com a qual vamos comparar. Esse termo geral vai ser uma fração da seguinte forma: seu numerador será o termo de maior grau do numerador de a_n (neste caso sqrt(n^2) ); seu denominador será o termo de maior grau do denominador de a_n (neste caso n^3 ). Portanto:

b_n = (sqrt(n^2))/(n^3) = (n)/(n^3) = (1)/(n^2)

Passo 2

A série sum_(n = 1)^(oo) b_n = sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^2) é uma p-série com p = 2 e, portanto, é convergente. Vamos usar agora o Teste de Comparação no Limite:

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) ((sqrt(n^2 - 1))/(n^3 + 2 n^2 + 5))/((1)/(n^2)) = underset(n -> oo)(lim) (sqrt(n^2 - 1))/(n^3 + 2 n^2 + 5) * n^2

Dividindo ambos numerador e denominador por n^3 :

underset(n -> oo)(lim) ((1)/(n^3) (n^2 sqrt(n^2 - 1)))/((1)/(n^3) (n^3 + 2 n^2 + 5)) = underset(n -> oo)(lim) (sqrt(1 - (1)/(n^2)))/((1 + (2)/(n) + (5)/(n^3))) = underset(n -> oo)(lim) (1)/(1) = 1

Passo 3

Como o nosso underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = 1 > 0 e como a série sum_(n = 1)^(oo) b_n é convergente, chegamos à conclusão de que a nossa série também é convergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (sqrt(n^2 - 1))/(n^3 + 2 n^2 + 5) é convergente

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