Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(2 n + 1)

Passo 1

Ao tentarmos, num primeiro momento, identificar o tipo desta série, percebemos que, se não fosse aquele “ + 1 ” no denominador, estaríamos diante de uma p-série, certo? (Poderíamos até mostrar a semelhança com a série harmônica, inclusive....conseguem enxergar? )

Neste caso (assim como as p-séries), vamos aplicar o “Teste da Integral” que vai dar tudo certo .

Passo 2

Aplicando o “Teste da Integral”, temos o seguinte:

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(2 n + 1) underset(T e s t e d a I n t e g r a l)(->) int_1^(oo) (1)/(2 x + 1) d x = underset(t -> oo)(lim) (int_1^t (1)/(2 x + 1) d x)

Resolvendo aquela integral ali em cima e aplicando o limite, temos que:

int_1^(oo) (1)/(2 x + 1) d x = underset(t -> oo)(lim) (int_1^t (1)/(2 x + 1) d x) = underset(t -> oo)(lim) {(1)/(2) [ln ( 2 x + 1 )]_1^t} = (1)/(2) (ln oo - ln 3) = oo

Passo 3

Opa! Chegamos à conclusão de que a nossa integral diverge! Portanto, pelo “Teste da Integral”, a nossa série é divergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(2 n + 1) é divergente

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Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ n e - n
Determine se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 4
Determine se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ n 2 n 3 + 1
Determine se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 2
Determine se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ n n 4 + 1