Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(n = 1)^(oo) tg ( 1 // n )

Passo 1

Bom...O argumento da tangente no termo geral valerá no máximo 1 (para n = 1 ) e no mínimo 0 (para “ n = oo ”). Desta forma, estamos lidando com uma série de termos positivos e decrescentes.

Vamos usar, então, o Teste da Comparação no Limite.

Passo 2

Vamos olhar para a série de termo geral b_n dada por

sum_(n = 1)^(oo) b_n = sum_(n = 1)^(oo) 1 // n

Sabemos que essa série é a famosa série harmônica e que ela é divergente.

Beleza...Vamos usá-la no Teste da Comparação no Limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) (overset((sen 1 // n)/(cos 1 // n))(obrace tg ( 1 // n )))/(1 // n) = underset(n -> oo)(lim) ((sen 1 // n)/(1 // n) * (1)/(cos 1 // n)) = underset(1)(ubrace underset(n -> oo)(lim) ((sen 1 // n)/(1 // n))) * underset(1)(ubrace underset(n -> oo)(lim) ((1)/(cos 1 // n))) = 1

Passo 3

Como o nosso underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = 1 > 0 , chegamos à conclusão de que a nossa série também é divergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) tg ( 1 // n ) é divergente

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