Enunciado

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - 1 2 1 2 r 2 s e n 2 θ + z 2 d z   r   d r   d θ

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Então vamos lá, sobre as técnicas, eu vou somente comentá-las sem provar (pode ficar à seu cargo, amigo, prova-las. Economizarei aqui para tomar espaço)

Dito isso, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - 1 2 1 2 r r 2 s e n 2 θ + z 2 d z   d r   d θ

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( r 3 s e n 2 θ ∫ - 1 2 1 2 d z + ∫ - 1 2 1 2 r z 2   d z )   d r   d θ

Passo 2

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 s e n 2 θ z - 1 2 1 2 + r 3 z 3 - 1 2 1 2 d r   d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 s e n 2 θ + r 12 d r   d θ

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

∫ 0 2 π ( s e n 2 ( θ ) ∫ 0 1 r 3   d r + 1 12 ∫ 0 1 r   d r )   d θ

∫ 0 2 π ( s e n 2 θ 4   r 4 0 1 + 1 24 r 4 0 1 )   d θ

∫ 0 2 π s e n 2 θ 4 + 1 24 d θ

Passo 3

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

1 4 ∫ 0 2 π s e n 2 θ d θ + 1 24 ∫ 0 2 π d θ

Usando que s e n 2 x = 1 2 1 + c o s 2 x

1 4 ∫ 0 2 π 1 2 1 + c o s 2 θ d θ + 1 24 θ 0 2 π

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

1 4 1 2 ∫ 0 2 π d θ + ∫ 0 2 π c o s 2 θ   d θ + 1 24 θ 0 2 π

Temos que ∫ c o s a x d x = - 1 a sen ⁡ a x + C

1 4 1 2 θ 0 2 π + 1 2 sen ⁡ 2 θ 0 2 π + 1 24 θ 0 2 π

π 4 + π 12 = 3 π + π 12 = π 3

Resposta

π 3

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