Enunciado

∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ r 2 3 18 - r 2 d z   r   d r   d θ

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Então vamos lá, sobre as técnicas, eu vou somente comentá-las sem provar (pode ficar à seu cargo, amigo, prova-las. Economizarei aqui para tomar espaço)

Dito isso, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ r 2 3 18 - r 2 r   d z   d r   d θ

Passo 2

∫ 0 2 π ∫ 0 3 ( r z r 2 3 18 - r 2 d r   d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 18 - r 2 - r 2 3 d r   d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 18 - r 2   - r 3 3 d r   d θ

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

∫ 0 2 π ( ∫ 0 3 r   18 - r 2   d r - ∫ 0 3 r 3 3   d r )   d θ

Passo 3

Façamos para a primeira parte de integral de d r , u = 18 - r 2 , logo d u = - 2 r d r assim d r = - d u 2 r e quando x = 0 ,   u = 18 e para x = 3 ,   u = 9 . De forma que fica:

∫ 0 2 π ( ∫ 18 9 - u 2   d u - ∫ 0 3 r 3 3 d r )   d θ

Usando para a primeira parte de d r que agora é d u a propriedade de que ∫ a b f x d x = - ∫ b a f x d x   . Assim:

∫ 0 2 π ( - 1 2 ∫ 9 18 - u   d u - ∫ 0 3 r 3 3   d r   )   d θ

∫ 0 2 π 1 2 2 3 u 3 2 9 18 - 1 3 1 4 r 4 0 3 d θ

∫ 0 2 π 9 2 2 - 1 - 3 4 d θ

9 2 - 1 - 3 4 θ 0 2 π

18 π 2 2 - 1   - 3 4  

Resposta

18 π 2 2 - 1   - 3 4  

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