Enunciado

∫ 0 π ∫ 0 θ π ∫ - 4 - r 2 3 4 - r 2   z   d z   r   d r   d θ  

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Então vamos lá, sobre as técnicas, eu vou somente comentá-las sem provar (pode ficar à seu cargo, amigo, prova-las. Economizarei aqui para tomar espaço)

Dito isso, temos:

∫ 0 π ∫ 0 θ π ∫ - 4 - r 2 3 4 - r 2   z   r   d z   d r   d θ  

Passo 2

∫ 0 π ∫ 0 θ π ( r 2 z 2 - 4 - r 2 3 4 - r 2   d r   d θ

∫ 0 π ∫ 0 θ π r 2 ( 9 4 - r 2 - + 4 - r 2   d r   d θ

∫ 0 π ∫ 0 θ π 36 r - 8 r 2 - 4 r 2   d r   d θ

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

∫ 0 π ( 18 ∫ 0 θ π r   d r - 4 ∫ 0 θ π r 3   d r - 2 ∫ 0 θ π r   d r )   d θ

Passo 3

∫ 0 π 9 r 2 0 θ π - r 4 0 θ π - r 2 0 θ π d θ

∫ 0 π 9 θ 2 π 2 - θ π 4 - θ π 2 d θ

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

9 π 2 ∫ 0 π θ 2   d θ - 1 π 4 ∫ 0 π θ 4   d θ - 1 π 2 ∫ 0 π θ 2   d θ

( 3 π 2 θ 3 0 π - 1 5 π 4 θ 5 0 π - 1 3 π 2 θ 3 0 π

37 π 15

Resposta

37 π 15

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