Enunciado

Uma tina cheia de água tem 10 m de comprimento e sua secção transversal tem a forma de um triângulo isósceles com 2 m de largura em cima e 2 m de altura. Qual o trabalho realizado para se bombear a água para fora da tina por cima da borda do tanque?

Passo 1

O recipiente desse exercício tem formato de um prisma com seção triangular isósceles apontando para baixo, com altura de 2 m e queremos bombear a água para fora na altura da borda.

Vamos dar um referencial, o eixo y vertical com origem no topo da tina e com sentido positivo para baixo, já que nosso nível de água desce e assim resulta numa maior altura para a água ser levantada.

Passo 2

Vamos descobrir o trabalho contra a gravidade realizado para mover uma camada fina de água de espessura ∆ y . Pensamos na coluna como uma pilha de n camadas bem finas.

Nosso volume da camada tem uma base retangular com comprimento c = 10 m, uma espessura ∆ y e uma largura dependente da altura já que conforme esvazia são formados diferentes triângulos na seção.

Essa variação é uma função linear e pode ser descoberta pela equação de uma reta a partir de dois pontos:

(0,2) a ponta do triângulo, a parte mais funda da tina;

(2,0) o topo da tina, onde tem sua base mais larga;

Fazendo um sistema:

2 = 0 a + b

0 = 2 a + b

b = - 2 ; a = 1

Logo nossa largura é dada por l = 2 - y

Passo 3

Agora, para encontrar o trabalho da camada temos:

V o l u m e   d a   c a m a d a = b a s e ⋅   a l t u r a =   c ⋅ l ⋅ ∆ y

M a s s a   d a   C a m a d a = d e n s i d a d e ⋅   v o l u m e = d ⋅   c ⋅ l ⋅ ∆ y

F o r ç a   n a   c a m a d a = f ( y ) = g ⋅ m a s s a = g ⋅ d ⋅ c ⋅ l ⋅ ∆ y

O trabalho requerido para levantar cada camada é igual a força vezes a distância a ser percorrida y , distância até a borda. Assim nossa equação fica:

W = f y ⋅ y

W =   g ⋅ d ⋅ c ⋅ ( 2 - y ) ⋅ ∆ y ⋅ y

Como queremos esvaziar toda a tina, o nosso intervalo de y irá de 0 a 2, a profundidade da tina.

Passo 4

Agora vem a menina dos olhos desse exercício, queremos bombear todas as camadas dessa tina e para isso usamos a integral no trabalho:

W = ∫ 0 2 g ⋅ d ⋅ c ⋅ ( 2 - y ) ⋅ d y ⋅ y

Simbolicamente o ∆ y se transforma no d y da integral. Podemos extrair as constantes, sabendo que a g = 9,81 m/s² e a densidade da água d = 1000 kg/m³, podemos substituir os valores:

W = 9,81 ⋅ 1000 ⋅ 10 ∫ 0 2 2 y - y 2   d y

W = 98100   ∫ 0 2 2 y - y 2   d y

Passo 5

Agora podemos resolver a integral encontrando as primitivas da função:

W = 98100   2 ⋅ 1 2 y 2 - 1 3 y 3 0 2

E por fim fazer a subtração com os limites da integral:

W = 98100   [ 2 2 - 2 3 3 - ( 0 ) ]

W = 98100 ⋅ 4 3 = 130800   J

Resposta

W = 130800   J

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