Enunciado

16. int (4 x^3 - 3 x^2 + 6 x - 1) d x

Passo 1

Para essa integral utilizaremos a propriedade de integração que nos diz que, a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = [ int (4 x^3) d x ] - [ int ( 3 x^2 ) d x ] + [ int ( 6 x ) d x ] - [ int 1 d x ]

Agora que a inegral tomou uma forma mais conhecida passamos ao próximo passo.

Passo 2

Depois de identificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que estiver dentro da integral e estiver multiplicando (ou dividindo) nossa variável.

Ex: int ( a x ) d x = a int (x) d x .

De modo que a integral pode ser ainda mais simplificada:

I = [ 4 int ( x^3 ) d x ] - [ 3 int (x^2) d x ] + [ 6 int (x) d x ] - int ( x^0 ) d x

Passo 3

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = int ( x^n ) d x = (x)/(n + 1)^(n + 1) + c

Onde “n” é o expoente da variável.

Quando estamos resolvendo a integral proposta, percebemos que aparece uma integral de uma constante, podemos resolver essa integral da seguinte forma:

I = int (1) d x

I = int (x^0) d x

Sabendo que qualquer valor elevado ao expoente zero(0) é igual a um (1) então podemos escrever a integral acima da seguinte forma.

I = int ( x^0 ) d x = (x^(0 + 1)) = x

Tendo agora a base teórica necessário, passamos ao próximo passo.

Passo 4

Agora é possível dar início á resolução da integral:

I = [ 4 int ( x^3 ) d x ] - [ 3 int (x^2) d x ] + [ 6 int (x) d x ] - int ( x^0 ) d x

I = [4 ((x^(3 + 1))/(3 + 1))] - [3 ((x^(2 + 1))/(2 + 1))] + [6 ((x^(1 + 1))/(1 + 1))] - (x) + c

I = (4 x^4)/(4) - (3 x^3)/(3) + (6 x^2)/(2) - x + c

OBS: Não se esqueçam de colocar o resultado da integral somado a uma constante, é ela que vai diferenciar sua função de uma infinidade de outras que são paralelas a ela.

Resposta

Chegamos então a resposta final do problema:

I = x^4 - x^3 + 3 x^2 - x + c

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