Enunciado

Se f w -   f x ≤   w   –   x para todos os valores w e x , e f é uma função derivável, mostre que -   1 ≤   f ' x ≤   1 para todos os valores de x .

Passo 1

Pelo enunciado podemos assumir que f é diferenciável, assim, poderemos usar a definição de derivada, com o limite, juntamente com a desigualdade de módulos que foi dada para provar o que o exercício nos pede que é mostrar que - 1 ≤ f ' x ≤ 1 ou f x ≤ 1 .

Passo 2

Utilizando a derivada pela definição podemos fazer

f ' x = l i m w → x f w - f x w - x

Tomando, então, g x = | x | contínua para todos os valores de x e lembrando que o módulo do limite é igual ao limite do módulo, podemos fazer

g ' x = l i m w → x f w - f x w - x =   l i m w → x f w - f x w - x

Do enunciado temos que f w -   f x ≤   w   –   x , então o resultado da divisão ali no limite é menor do que 1, se w ≠ x . Assim,

g ' x =   l i m w → x f w - f x w - x ≤ 1  

Passo 3

Podemos escrever o 1 como sendo

l i m w → x   1

Dessa forma, faremos

g ' x =   l i m w → x f w - f x w - x ≤ l i m w → x   1  

Essa desigualdade só será verdadeira se

g ' x ≤ 1 →   - 1 ≤ g ' x ≤ 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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