Enunciado

Suponha que   f seja contínua em [ a ,   b ] e derivável em ( a ,   b ) . Suponha também que f ( a ) e f ( b ) possuam sinais opostos e que f ' ≠ 0 entre a e b . Demonstre que f x = 0 apenas uma vez entre a e b.

Passo 1

Devemos mostrar que a nossa função f ( x ) com as características dadas, f ' ≠ 0   dentro do intervalo e os valores de f a e   f ( b ) tem sinais opostos, é igual a 0 apenas uma vez dentro do intervalo a , b .

Lembrando que o teorema do valor intermediário ou a função que apresenta a propriedade do valor intermediário diz que sempre que uma função assumir dois valores, no nosso caso a e b, também deve assumir seus valores intermediários.

Passo 2

Pelo teorema do valor intermediário podemos observar que f ( x ) deve ser zero pelo menos uma vez. Agora, vamos supor que a função apresente mais de um zero dentro do intervalo. Então, pelo teorema do valor médio, f ' ( x ) teria que ser zero pelo menos uma vez entre essas duas raízes.

No entanto, foi nos dado na questão que a derivada da nossa função é diferente de 0 nesse intervalo. Logo, f ' ( x ) e igual a zero apenas uma vez dentro desse intervalo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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