Enunciado

Transformando uma integral dupla para obter limites constantes Algumas vezes, uma integral multipla com limites variaveis pode ser mudada para uma com limites constantes. Mudando a ordem de integracao, mostre que

∫ 0 1 f x ( ∫ 0 x g x - y f y d y )   d x =   ∫ 0 1 f y   ( ∫ y 1 g x - y f x d x ) d y = 1 2   ∫ 0 1 ∫ 0 1 g ( x - y ) f ( x ) f y d x d y

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Nesta questão vamos ter que iniciar realizando a trasformação para obter os limites constantes , tendo que,

∫ 0 1 f x   ( ∫ 0 x g x - y f y d y ) d x =   ∫ 0 1 ∫ 0 x g x - y f x f y d y d x

=   ∫ 0 1 ∫ y 1 g x - y f x f y d x d y =   ∫ 0 1 f y   ( ∫ y 1 g x - y f x d x ) d y

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 g x - y f x f y d x d y

= ∫ 0 1 ∫ 0 x g x - y f x f y d y d x + ∫ 0 1 ∫ x 1 g y - x f x f y d y d x

= ∫ 0 1 ∫ y 1 g x - y f x f y d x d y + ∫ 0 1 ∫ x 1 g y - x f x f y d y d x

= ∫ 0 1 ∫ y 1 g x - y f x f y d x d y + ∫ 0 1 ∫ y 1 g x - y f y f x d x d y

= 2   ∫ 0 1 ∫ y 1 g x - y f x f y d x d y

Resposta

2   ∫ 0 1 ∫ y 1 g x - y f x f y d x d y

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