Calcule o valor da integral múltipla.

∫ ∫ R y e x y   d A ,   o n d e   R = x , y   0 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 3 }

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular a integral acima de acordo com a região dada. Para isso, vamos primeiramente reescrever nossa integral de forma que ela possa ser escrita como uma integral iterada, então, tomemos a região de integração dada por: R = x , y   0 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 3 } . Assim, conseguiremos reescrever nossa integral como sendo

∫ 0 3 ∫ 0 2 y e x y   d x   d y  

Passo 2

Beleza, agora que temos nossa integral escrita de forma iterada podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, vindo de ‘dentro pra fora’ e enquanto resolvemos uma integral em uma variável consideraremos tudo o que não for essa variável como constante. Dessa forma, temos

∫ 0 2 y e x y   d x = y e x y y 0 2 = e 2 y - 1

Agora, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida

∫ 0 3 e 2 y - 1   d y = e 2 y 2 - y 0 3 = e 6 2 - 3 - 1 2 = e 6 - 7 2

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.

Resposta

e 6 - 7 2

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