Enunciado

Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma integral de convolução:

y ' ' + 3 y ' + 2 y = cos ⁡ α t ;

y 0 = 1   e   y ' 0 = 0

Passo 1

O exercício nos pede para encontrar a função y ( t ) . Vamos começar aplicando a transformada de Laplace nos dois lados da equação:

y ' ' + 3 y ' + 2 y = cos ⁡ α t

L y ' ' + 3 y ' + 2 y = L cos ⁡ α t

L y ' ' + L 3 y ' + L 2 y = L cos ⁡ α t

Vamos chamar L y t = Y ( s ) . Então:

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + 3 s Y s - y 0 + 2 Y s = s s 2 + α 2

s 2 + 3 s + 2 Y s - s y 0 - y ' 0 - 3 y 0 = s s 2 + α 2

s 2 + 3 s + 2 Y s - s - 3 = s s 2 + α 2

s 2 + 3 s + 2 Y s = s s 2 + α 2 + s + 3

Y s = s s 2 + α 2 s 2 + 3 s + 2 + s s 2 + 3 s + 2 + 3 s 2 + 3 s + 2

Y s = s s 2 + α 2 s 2 + 3 s + 2 + s + 3 / 2 s 2 + 3 s + 2 + 3 / 2 s 2 + 3 s + 2

Passo 2

Vamos agora chamar

F s = s s 2 + α 2

G s = 1 s 2 + 3 s + 2

G s = 1 s + 3 2 2 - 1 2 2

G s = 2 x 1 / 2 s + 3 2 2 - 1 2 2

H s = s + 3 / 2 s + 3 2 2 - 1 2 2

Antes de continuar vamos relembrar o teorema de convolução. Ele diz que: se F s = L f t e G s = L g t existem e Y s = L y t = F s x G ( s ) , a função y ( t ) pode ser descrita como:

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ

Para o nosso exercício:

Y s = F s G ( s ) + H ( s ) + 3 2 G ( s )

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ + h t + 3 2 g ( t )

O que vamos fazer então é aplicar a transformada inversa nas funções F ( s ) e G ( s ) para encontrar f ( t ) e g ( t ) .

De acordo com a tabela 6.2.1:

F s = s s 2 + a 2 → f t = cos ⁡ a t

G s = c b s - a 2 - b 2 → g t = c e a t sen h ⁡ b t

H s = s - a s - a 2 - b 2 → h t = e a t cosh ⁡ b t

Passo 3

Para o nosso exercício:

F s = s s 2 + α 2 → f t = cos ⁡ α t

G s = 2 x 1 / 2 s + 3 2 2 - 1 2 2 → g t = 2 e - 3 2 t senh ⁡ 1 2 t

H s = s + 3 / 2 s + 3 2 2 - 1 2 2 → h t = e - 3 2 t cosh ⁡ 1 2 t

Aplicando o teorema sobre a convolução:

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ + h t + 3 2 g ( t )

y t = ∫ 0 t cos ⁡ α t - τ 2 e - 3 2 τ senh ⁡ 1 2 τ d τ + e - 3 2 t cosh ⁡ 1 2 t + 3 e - 3 2 t senh ⁡ 1 2 t

y t = 2 ∫ 0 t cos ⁡ α t - τ e - 3 2 τ senh ⁡ 1 2 τ d τ + e - 3 2 t cosh ⁡ 1 2 t + 3 e - 3 2 t senh ⁡ 1 2 t

Resposta

A função dada é

y t = 2 ∫ 0 t cos ⁡ α t - τ e - 3 2 τ senh ⁡ 1 2 τ d τ + e - 3 2 t cosh ⁡ 1 2 t + 3 e - 3 2 t senh ⁡ 1 2 t .

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