A entrada fornecida para a fórmula MathML está vazia. Por favor, forneça uma fórmula MathML válida para que eu possa convertê-la conforme as diretrizes dadas. Transforme em produto: e) y = cos^2(p) - cos^2(q)

Passo 1

A ideia nessa questão é primeiro usar a fatoração de diferença de quadrados e depois as fórmulas para transformar as somas e diferenças de cosseno em produto. Podemos começar escrevendo:

cos 2 ⁡ p - cos 2 ⁡ q = cos ⁡ p + cos ⁡ q ⋅ ( cos ⁡ p - cos ⁡ q )

Passo 2

Aqui vamos transformar cos ⁡ p + cos ⁡ q em um produto através da fórmula:

cos ⁡ p + cos ⁡ q = 2 ⋅ cos ⁡ p + q 2 ⋅ cos ⁡ p - q 2

Então de momento estamos com expressão:

y = 2 ⋅ cos ⁡ p + q 2 ⋅ cos ⁡ p - q 2 ⋅ ( cos ⁡ p - cos ⁡ q )

Passo 3

Agora vamos transformar ( cos ⁡ p - cos ⁡ q ) em produto, com a fórmula análoga a do passo anterior:

cos ⁡ p - cos ⁡ q = - 2 ⋅ sen ⁡ p + q 2 ⋅ sen ⁡ p - q 2

Então de momento estamos com expressão:

y = 2 ⋅ cos ⁡ p + q 2 ⋅ cos ⁡ p - q 2 ⋅ - 2 ⋅ sen ⁡ p + q 2 ⋅ sen ⁡ p - q 2

Passo 4

Abrindo convenientemente o produto da expressão ficaremos com:

y = 2 ⋅ sen ⁡ p + q 2 ⋅ cos ⁡ p + q 2 ⋅ - 2 ⋅ sen ⁡ p - q 2 ⋅ cos ⁡ p - q 2

Relembrando a fórmula do s e n   2 a :

s e n   2 a = 2 ⋅ s e n   a ⋅ cos ⁡ a

Podemos perceber que podemos escrever tal produto como:

y = s e n   p + q ⋅ - s e n   ( p - q )

Resposta

y = - s e n   p + q ⋅ s e n   ( p - q )

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