Transforme em produto: a) y = sen a + sen(a + r) + sen(a + 2r) + sen(a + 3r)

Passo 1

Para transformar em produto, vamos utilizar uma das fórmulas dadas anteriormente neste capítulo, como temos uma soma de senos, vamos utilizar:

s e n   p + s e n   q = 2 ⋅ s e n p + q 2 ⋅ cos ⁡ p - q 2

Diferente dos outros itens deste exercício, temos 4 parcelas somadas, então vamos utilizar a fórmula separadamente de duas em duas parcelas

Passo 2

Focando nas parcelas ( s e n   a + s e n   a + 3 r ), podemos admitir p = a + 3 r e q = a , vamos substituir na fórmula:

s e n   p + s e n   q = 2 ⋅ s e n a + 3 r + a 2 ⋅ cos ⁡ a + 3 r - a 2

s e n   ( a + 3 r ) + s e n   a = 2 ⋅ s e n 2 a + 3 r 2 ⋅ cos ⁡ 3 r 2

Passo 3

Agora focando nas parcelas s e n   a + 2 r + s e n   ( a + r ) , podemos admitir p = a + 2 r e q = a + r , substituindo na fórmula:

s e n   p + s e n   q = 2 ⋅ s e n a + 2 r + a + r 2 ⋅ cos ⁡ a + 2 r - ( a + r ) 2

s e n   a + 2 r + s e n   a + r = 2 ⋅ s e n 2 a + 3 r 2 ⋅ cos ⁡ r 2

Passo 4

Nossa expressão neste momento pode ser escrita como:

y = 2 ⋅ s e n 2 a + 3 r 2 ⋅ cos ⁡ 3 r 2 + 2 ⋅ s e n 2 a + 3 r 2 ⋅ cos ⁡ r 2

Colocando 2 ⋅ s e n 2 a + 3 r 2 em evidência, ficamos com:

y = 2 ⋅ s e n 2 a + 3 r 2 ⋅ cos ⁡ 3 r 2 + cos ⁡ r 2 Agora podemos transformar a soma cos ⁡ 3 r 2 + cos ⁡ r 2   em um produto através da fórmula dada:

cos ⁡ p + cos ⁡ q = 2 ⋅ cos ⁡ p + q 2 ⋅ cos ⁡ p - q 2

No nosso caso, p = 3 r 2 e q = r 2 , substituindo na fórmula ficamos com:

cos ⁡ p + cos ⁡ q = 2 ⋅ cos ⁡ 3 r 2 + r 2 2 ⋅ cos ⁡ 3 r 2 - r 2 2

cos ⁡ 3 r 2 + cos ⁡ r 2 = 2 ⋅ cos ⁡ 2 r 2 ⋅ cos ⁡ r 2

cos ⁡ 3 r 2 + cos ⁡ r 2 = 2 ⋅ cos ⁡ r ⋅ cos ⁡ r 2

Resposta

Como resposta, basta escrevermos toda nossa expressão obtida, ou seja:

y = 2 ⋅ s e n 2 a + 3 r 2 ⋅ 2 ⋅ cos ⁡ r ⋅ cos ⁡ r 2

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