Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 1.6 - Ex. 77

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desse livro

  1. Se transladamos uma curva para a esquerda, o que acontece com sua reflexão em torno da reta y = x ? Em vista deste princípio geométrico, encontre uma expressão para a inversa de
  2. g x = f ( x + c )

    Em que f é uma função injetora.

  3. Encontre uma expressão para a inversa de

h x = f ( c x )

Em que c ≠ 0 .

Passo 1

  1. Se o ponto ( x ,   y ) estiver no gráfico de y   =   f   ( x ) , então o ponto ( x   -   c ,   y ) é aquele ponto que desloca c unidades para a esquerda. Desde que f é injetora, o ponto ( y ,   x )   está no gráfico de y = f - 1 ( x ) e o ponto correspondente a ( x   -   c ,   y ) no gráfico de f é ( y ,   x   -   c ) no gráfico de f - 1 . Assim, a reflexão da curva é deslocada para baixo o mesmo número de unidades que a curva em si é deslocada para a esquerda. Portanto, uma expressão para a função inversa é
  2. g - 1 x = f - 1 x - c

    Passo 2

  3. Se comprimirmos (ou esticarmos) uma curva horizontalmente, o reflexo da curva na linha y   =   x será comprimido (ou esticado) verticalmente pelo mesmo fator. Usando este princípio geométrico, vemos que o inverso de h   ( x )   =   f   ( c x ) pode ser expresso como

h - 1 x = 1 c f - 1 x

Resposta

  1. Se o ponto ( x ,   y ) estiver no gráfico de y   =   f   ( x ) , então o ponto ( x   -   c ,   y ) é aquele ponto que desloca c unidades para a esquerda. Desde que f é injetora, o ponto ( y ,   x )   está no gráfico de y = f - 1 ( x ) e o ponto correspondente a ( x   -   c ,   y ) no gráfico de f é ( y ,   x   -   c ) no gráfico de f - 1 . Assim, a reflexão da curva é deslocada para baixo o mesmo número de unidades que a curva em si é deslocada para a esquerda. Portanto, uma expressão para a função inversa é

g - 1 x = f - 1 x - c

  1. Se comprimirmos (ou esticarmos) uma curva horizontalmente, o reflexo da curva na linha y   =   x será comprimido (ou esticado) verticalmente pelo mesmo fator. Usando este princípio geométrico, vemos que o inverso de h   ( x )   =   f   ( c x ) pode ser expresso como

h - 1 x = 1 c f - 1 x

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