Enunciado

a) Se transladamos uma curva para a esquerda, o que acontece com sua reflexão em torno da reta y = x ? Em vista deste princípio geométrico, encontre uma expressão para a inversa de

g x = f ( x + c )

Em que f é uma função injetora.

b) Encontre uma expressão para a inversa de

h x = f ( c x )

Em que c ≠ 0 .

Passo 1

Opaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos analisar o que acontece com a reflexão de uma curva em torno da reta y = x quando transladamos ela pra esquerda. Ou seja, queremos se vai ter algum comportamento padrão.

Pra isso, desenhamos numa tela a reta y = x e uma curva... depois transladamos ela pra esquerda, que aqui é como se a gente girasse a curva em torno do eixo y = x . A curva “sai” do papel girando pra esquerda e depois cai no papel de novo, mas acima da reta y = x .

Ahhh... a curva é de uma função f injetora... e, graficamente, pra função injetora a gente desenha uma curva que se passarmos várias retas horizontais, elas só vão cruzar a função uma vez. Esse é o gráfico de uma função injetora.

Depois de descobrir esse padrão vamos encontrar uma expressão para a inversa de:

g x = f ( x + c )

E uma expressão para a inversa de:

h x = f c x

Pra encontrar essas duas expressões vamos analisar apenas o gráfico e fazendo a manipulações na função f .

Passo 2

Primeiro vamos desenhar num gráfico uma função injetora f x (em verde) abaixo da reta y = x (em vermelho):

E se girarmos a curva em torno do eixo y = x ela fica assim (curva roxa):

E nisso conseguimos ver que a curva fica espelhada em relação à reta y = x . Essa é a característica gráfica da função inversa (espelhada em relação à y = x ) f - 1 x .

Passo 3

Agora, pra achar uma função inversa de g x = f x + c vamos mexer um pouco no gráfico. Como estamos adicionando uma constante ao x , concorda que podemos só deslocar o gráfico de f x pra esquerda ou pra direita que aí já teríamos uma boa representação?

Mantivemos a reta vermelha, y = x , e a curva roxa, que é a inversa f ' x , mas a curva verde chegou um pouco pro lado. Ela representa g x = f ( x + c ) .

Agora precisamos deixar a cruva roxa de forma que ela vire o reflexo da curva verde. A gente só precisa subir ela um pouco, né? Que seria subir a curva roxa a mesma quantidade que a curva verde foi pra direita. Ficando assim:

Pra deslocar uma função pra cima... adicionamos na parte do y a quantidade que queremos deslocar. Maaaaaaas essa função que deslocamos pra cima é a função inversa. Qual o inverso de adicionar? Subtrair. Ficamos com:

g - 1 x = f - 1 x - c

Passo 4

Agora quermos a função inversa de h x = f c x . Quando multiplicamos x por alguma constante, o gráfico sobe um pouco:

E pra fazer a curva roxa virar o reflexo da curva verda precisamos deslocar ela mais pra direita, né? Como pra função normal multiplicamos x pela constante, então pra função inversa vamos dividir:

h - 1 x = f - 1 x c

Resposta

a) g - 1 x = f - 1 x - c

b) h - 1 x = 1 c f - 1 x

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