O tratamento dialítico remove a uréia e outros resíduos do sangue de um paciente, desviando um pouco do sangue externamente através de uma máquina chamada dialisador. A taxa em qual uréia é removida do sangue (em mg/min ) é frequentemente bem descrito pela equação:

u(t) = (r / V) \* C_0 \* e^(-rt / V)

Onde r é a taxa de sangue baixo através do dialisador (em mL/min ), V é o volume de sangue do paciente (em m \* L ) e C_0 é a quantidade de uréia no sangue (em m \* g ) no momento t = 0 . Avalie a integral ∫ 0 ∞ u ( t ) e interprete-o.

Passo 1

Bom galera, a gente tem a integral:

∫ 0 ∞ r V C 0 e - r t V   d t

Vamos botar a contante pra fora da integral:

r V C 0 ∫ 0 ∞ e - r t V   d t

Passo 2

Beleza, com a definição da integral de e , a gente encontra:

r V C 0 ∫ 0 ∞ e - r t V   d t

= r V C 0 lim s → ∞ ⁡ - V r e - r t V + C 0 s

Multiplicando a constante com o limite fica:

lim s → ∞ ⁡ C 0 - e - r t V + C 0 s

Vamos calcular o limite reparado, lembrando que V e r só podem ser positivos então não alteram sinal:

lim s → ∞ ⁡ C 0 - e - r t V + C 0 s

= C 0 - e - r ∞ V - C 0 - e - r 0 V

= C 0 0 - C 0 - 1 = C 0

Passo 3

Show de bola, a gente tem que:

∫ 0 ∞ u ( t ) = C 0

E ∫ 0 ∞ u ( t ) é a quantidade de uréia removida, logo o tratamento tirou toda a uréia.

Resposta

C 0

Quantidade de úreia removida.

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