Enunciado

Três alelos (versões alternativas de um gene) A, B e O determinam os quatro tipos sanguíneos A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO) e AB. A Lei Hardy-Weinberg afirma que a proporção de indivíduos em uma população que carrega dois alelos diferentes é

P = 2 p q + 2 p r + 2 r q

Onde p , q e r são as proporções de A, B e O na população. Use o fato de que p + q + r = 1 para mostrar que P é no máximo 2 3 .

Passo 1

Bom galera, vamos isolar r :

p + q + r = 1

→ r = 1 - p - q

Ai, a gente só substitui r :

P = 2 p q + 2 p r + 2 r q

→ P = 2 p q + 2 p ( 1 - p - q ) + 2 ( 1 - p - q ) q

→ P = 2 p q + 2 p - 2 p 2 - 2 p q + 2 q - 2 p q - 2 q 2

→ P = - 2 p 2 - 2 q 2 - 2 p q + 2 p + 2 q

Essa é a nossa função em termos de duas variaveis.

Passo 2

Beleza, vamos encontrar o ponto critico agora, igualando a derivada parcial á 0 :

P p = - 4 p - 2 q + 2 = 0

P q = - 4 q - 2 p + 2 = 0

Resolvendo o sisteminha:

- 4 p - 2 q + 2 = 0 - 4 q - 2 p + 2 = 0

Encontramos:

p = q = r = 1 3

Passo 3

Por fim, a gente usa a segunda derivada:

D = P p p P q q - p p q 2

→ - 4 - 4 - - 2 2 = 12 > 0

É ponto de máximo.

Agora a gente só substitui em p e q em P :

P = 2 1 3 1 3 + 2 1 3 1 3 + 2 1 3 1 3 = 6 9

= 2 3

Pronto, a gente provou, fácil né?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D .33. f x , y = x 4 + y 4 - 4 x y + 2 . D = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 3 ,0 ≤ y ≤ 2 }