Enunciado

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D .

33. f x , y = x 4 + y 4 - 4 x y + 2 .

D = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 3 ,   0 ≤ y ≤ 2 }

Passo 1

Pra determinar os valores de máximo e/ou mínimo de uma função de duas variáveis, temos que seguir alguns passos.

O primeiro é calcular as derivadas parciais em relação a x e a y e igualá-las a zero, determinando assim os pontos críticos. Pra isso, você deriva uma variável e considera a outra como constante.

Vamos ter:

f x = d f x , y d x = 4 x 3 - 4 y

f y = d f x , y d y = 4 y 3 - 4 x

Tendo as derivadas, vamos igualá-las a zero. Pra f x temos:

4 x 3 - 4 y = 0

4 x 3 = 4 y

∴ y = x 3

Pra f y temos:

4 y 3 - 4 x = 0

4 y 3 = 4 x

y 3 = x

y = x 3

Repara que chegamos às igualdades y = x 3 e y = x 3 . Podemos escrever então:

x 3 = x 3

Nisso, vamos ter:

x 3 3 = x 3 3

x 9 = x

Os valores que servem como resposta são:

x = - 1 e x = 1

Mas no domínio da nossa função, x está limitado entre 0 e 3, então como resposta só nos vai servir x = 1 .

Agora, pra acharmos o pontos crítico do formato x , y c , vamos usar esse valor pra x jogando ele dentro da expressão pra y , que determinamos agora há pouco, y = x 3 . Vamos ter o seguinte ponto:

∴ x , y c = x , x 3 = 1 , 1 3 =   1 ,   1

Passo 2

O próximo passo é calcular de f no ponto crítico ( 1,1 ) e comparar com o valor máximo e mínimo na fronteira da região D (que iremos precisar calcular também).

“Ué, não precisamos descobrir se ele é um ponto de máximo ou mínimo local?“

Nãooo... na verdade, nesse exercício só nos importa o ponto de máximo e mínimo absoluto, então não precisamos analisar esse ponto crítico usando matriz hessiana, podemos partir direto para a comparação com os pontos da fronteira.

Temos que:

f x , y = x 4 + y 4 - 4 x y + 2

Logo:

f 1,1 = 1 + 1 - 4 + 2

= 0

Beleza! Vamos guardar esse resultado.

Passo 3

Agora precisamos investigar a fronteira da nossa função.

A região D que compreende o domínio de f é dada no enunciado por:

0 ≤ x ≤ 3 ,   0 ≤ y ≤ 2

Massa! Basicamente, a fronteira de f é a borda do retângulo abaixo:

Vamos precisar descobrir qual o valor máximo e mínimo que ocorre em cada um desses segmentos: L 1 ,   L 2 , L 3 e L 4 .

Na borda L 1 , temos:

0 ≤ x ≤ 3

y = 0

Substituindo em f ( x , y ) vem:

f x , 0 = x 4 + 2

Essa função é crescente, logo o ponto de mínimo ocorre quando x = 0 :

f 0,0 = 2

E, o ponto de máximo ocorre quando x = 3 :

f 3,0 = 3 4 + 2

f ( 3,0 ) = 83

Show de bola!

Agora no segmento L 2 , temos:

x = 3

0 ≤ y ≤ 2

Logo:

f 3 , y = 81 + y 4 - 4 ⋅ 3 ⋅ y + 2

= y 4 - 12 y + 83

Para analisar o máximo e mínimo dessa função precisamos derivá-la, daí:

f ' 3 , y = 4 y 3 - 12

Igualando a 0 :

4 y 3 = 12

y = 3 1 3

Se formos um pouquinho malandros, vemos que quando y → ± ∞ o valor da função explode por causa do y 4 , logo esse é o valor de mínimo da função!

Daí, como:

f 3,3 1 3 = 3 4 3 - 12 ⋅ 3 1 3 + 83 > 0

(pois 83 é bem maior do que esses outos termos), já vemos que esse ponto de mínimo não será ponto de mínimo absoluto (dado que temos f 1,1 = 0 ) .

Já quanto ao ponto de máximo dessa função, ele deve ocorrer nos limites, isto é, ou em y = 2 ou y = 0 .

Já vimos que:

f 3,0 = 83

E, temos:

f 3,2 = 2 4 - 12 ⋅ 2 + 83

= 75

Portanto, o valor máximo no segmento L 2 ocorre em 3,0 .

Tranquilo até aqui, gente bonita?

Passo 4

Continuando a análise da fronteira, vamos investigar L 3 :

Temos:

0 ≤ x ≤ 3

y = 2

Logo:

f x , 2 = x 4 + 2 4 - 4 ⋅ 2 ⋅ x + 2

f ( x , 2 ) = x 4 - 8 x + 18

Massa!

Novamente, pra analisarmos o mínimo e máximo dessa função precisamos derivá-la (mas, pela mesma malandragem que usamos em L 2 , sabemos que o ponto crítico aqui é de mínimo!).

Temos:

f ' x , 2 = 4 x 3 - 8

Igulando a 0 :

4 x 3 = 8

∴ x 3 = 2

⇒ x = 2 1 3

Assim, o ponto de mínimo nesse segmento é 2 1 3 , 2 e vale:

f 2 1 3 , 2 = 2 4 3 - 8 ⋅ 2 1 3 + 18 > 0

(pois 18 é maior que todos os outros termos). Assim, já vemos que esse não é ponto de mínimo global.

Por outro lado, temos dois candidatos a ponto de máximo nesse segmento:

x = 0 → f 0,2 = 18

x = 3 → f 3,2 = 75

Show! Esse último é o ponto de máximo de L 3 .

Por fimmm, vamos calcular o ponto de mínimo e máximo em L 4 .

Temos em L 4 :

x = 0

0 ≤ y ≤ 2

Assim:

f 0 , y = y 4 + 2

Logo, é uma função crescente! Daí, temos mínimo:

f 0,0 = 2

E máximo:

f 0,2 = 2 4 + 2

= 18

Show de bola!

Vamos compilar essas informações pra compararmos.

Na fronteira, o maior valor que calculamos foi:

f 3,0 = 83

E, o menor valor que calculamos foi:

f 0,0 = 2

Ok! Então esses são os pontos de máximo e mínimo da fronteira.

Vamos comparar com o ponto crítico da função:

f 1,1 = 0

Opaaaa! Esse valor é menor do que qualquer outro que calculamos. Sendo assim:

p o n t o   d e   m í n i m o   a b s o l u t o → ( 1,1 )

p o n t o   d e   m á x i m o   a b s o l u t o → ( 3,0 )

Ufaaaa!! Terminamos!

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

p o n t o   d e   m í n i m o   a b s o l u t o → ( 1,1 )

p o n t o   d e   m á x i m o   a b s o l u t o → ( 3,0 )

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A temperatura T em qualquer ponto x , y , z é dada por T = 100 x 2 y z . Determine a temperatura máxima sobre a esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 . Qual a temperatura mínima?
Determine o paralelepípedo-retângulo de volume máximo, com três de suas faces nos planos coordenados, contido no tetraedro { x , y , z ∈ R 3 | x + 2 y + 3 z ≤ 12 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 ,z ≥ 0 }.
Ache o valor máximo e o valor mínimo da função f x , y , z = x + 2 y + z com restrição x 2 + 2 y 2 + z 2 = 4 .
Encontre o ponto da curva x 2 - 2 x y + y 2 - 2 x - 2 y + 1 = 0 mais próximo da origem.
Determine, dentre os paralelepípedos-retângulos de mesmo volume, o de área máxima.