Enunciado

a) Se u → = ( a ,   b ) é uma unidade vetorial e f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, mostre que

D u 2 f = f x x a 2 + 2 f x y a b + f y y b 2

b) Determine a derivada direcional de f x , y = x e 2 y na direção de v → = ( 4 ,   6 ) .

Passo 1

O problema pede para deduzirmos uma expressão para a segunda derivada direcional na direção do vetor u → . Para isso, basta usar que

D u 2 f = D u D u f

A primeira derivada é dada por

D u f = ∇ f ⋅ u → = f x , f y ⋅ a ,   b = f x a + f y b

Assim, a segunda derivada será

D u 2 f = D u f x a + f y b = ∇ f x a + f y b ⋅ ( a ,   b )

Tomando o gradiente, temos que

∇ f x a + f y b = ( f x x a + f y x b ,   f x y a + f y y b )

Assim,

D u 2 f = f x x a + f y x b ,   f x y a + f y y b ⋅ a ,   b = f x x a 2 + f y x + f x y a b + f y y b 2

Como as derivadas de segunda ordem são contínuas, as derivadas mistas são iguais:

f x y = f y x

Assim,

D u 2 f = f x x a 2 + 2 f x y a b + f y y b 2

Passo 2

No item (b) vamos usar a expressão deduzida no item (a) para o caso f x , y = x e 2 y e v → = ( 4 ,   6 ) .

O primeiro passo é calcular as derivadas:

f x = e 2 y

f y = 2 x e 2 y

Assim,

f x x = 0

f x y = f y x = 2 e 2 y

f y y = 4 x e 2 y

Por fim, note que   v → = ( 4 ,   6 ) não está normalizado:

v → = 16 + 36 = 52 = 2 13

Assim,

a = 2 13             e             b = 3 13

Usando a fórmula deduzida no item (a):

D u 2 f = 0 ⋅ 4 13 + 2 ⋅ 2 e 2 y ⋅ 6 13 + 4 x e 2 y ⋅ 9 13

Logo,

D u 2 f = 12   e 2 y   ( 2 + 3 x ) 13

Resposta

D u 2 f = 12   e 2 y   ( 2 + 3 x ) 13

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