Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 40
a) Se é uma unidade vetorial e tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, mostre que
b) Determine a derivada direcional de na direção de .
Passo 1
O problema pede para deduzirmos uma expressão para a segunda derivada direcional na direção do vetor . Para isso, basta usar que
A primeira derivada é dada por
Assim, a segunda derivada será
Tomando o gradiente, temos que
Assim,
Como as derivadas de segunda ordem são contínuas, as derivadas mistas são iguais:
Assim,
Passo 2
No item (b) vamos usar a expressão deduzida no item (a) para o caso e .
O primeiro passo é calcular as derivadas:
Assim,
Por fim, note que não está normalizado:
Assim,
Usando a fórmula deduzida no item (a):
Logo,
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Mostre que a função f x , y = x y 3 é contínua e suas derivadas parciais f x e f y existem na origem, mas as derivadas direcionais em todas as outras direções não existem.Traçe o gráfico de f perto da
Nos Exercícios 11-18, encontre as derivadas da função em P 0 na direção de u . f x ,y ,z = x y + y z + z x , P 0 1 ,- 1 ,2 ,u = 3 i + 6 j - 2 k
Nos Exercícios 11-18, encontre as derivadas da função em P 0 na direção de u . f x ,y ,z = x 2 + 2 y 2 - 3 z 2 , P 0 1 ,1 ,1 ,u = i + j + k
Nos Exercícios 11-18, encontre as derivadas da função em P 0 na direção de u . f x ,y ,z = 3 e x cos y z , P 0 0 ,0 ,0 ,u = 2 i + j - 2 k
Nos Exercícios 11-18, encontre as derivadas da função em P o na direção de u . h x , y , z = cos x y + e y z + ln z x P 0 = 1 ,0 ,1 / 2 u = i + 2 j + 2 k