Enunciado

Se A unidades quadradas for a área da região limitada pela parábola y 2 = 4 x e pela reta y = m x     ( m > 0 ) , acha a taxa de variação de A em relação a m .

Passo 1

Vamos lá! Antes de pensar em calcular a taxa de variação da área e tals, precisamos saber a área, né? Então a primeira coisa a se fazer é achar a área e para isso vamos desenhar a curva e a reta que o problema deu. Vamos desenhar a reta de tal forma que tenha interseção com a primeira curva.

Temos a curva y 2 = 4 x   →     x = y 2 4 que é justamente uma parábola com vértice na origem e concavidade para direita, perceba que aqui temos algo como a y 2 e esse a > 0 .

Também temos a reta y = m x com m > 0 e isso nos dá uma reta que passa na origem e tem coeficiente angular positivo, ou seja, uma reta crescente. Podemos então esboçar isso tudo em um plano cartesiano.

Como vocês podem observar, vamos ter uma região abaixo da parábola e acima da reta, perceba também que só vamos estar interessados no primeiro quadrante, pois a reta é crescente.

Passo 2

Agora nós vamos utilizar a integral definida para representar a região pedida, a princípio faremos a integral da função maior menos a menor, ou seja, f x - m x e com o intervalo de integração [ 0 , b ] para pegar a área entre as curvas. Mas quem é f ( x ) ? É a função que nos dá o ramo da parábola do primeiro quadrante. Vamos achar:

y 2 = 4 x       →         y = ±   4 x       →           y =   4 x = f ( x )       ( Parte positiva)

Sendo assim, a área é dada por:

A ( m ) = ∫ 0 b 4 x - m x d x

Percebam que o limite superior b é a abscissa do ponto de interseção A entre a reta e o ramo da parábola. Vamos achar esse ponto então:

m x = 4 x     →       m 2 x 2 = 4 x     →       m 2 x 2 - 4 x = 0     →       x m 2 x - 4 = 0

Daí temos que x = 0 ou m 2 x - 4 = 0   →       x = 4 m 2 , o único valor possível é x = 4 m 2 pois x = 0 nos daria a origem. Dessa forma, a área é dada por:

A m = ∫ 0 4 m 2 4 x - m x d x = ∫ 0 4 m 2 2 x - m x d x = ∫ 0 4 m 2 2 x d x - ∫ 0 4 m 2 m x d x

Passo 3

Agora nós já podemos achar a taxa de variação da área em relação a m . Podemos fazer isso derivando diretamente a integral em relação a m ou resolvendo essa integral definida e derivar o resultado, que nada mais é do que a área também. Vamos derivar diretamente a integral usando a fórmula do teorema fundamental do cálculo:

F m = ∫ 0 g ( m ) f t d t         →             F ' m = f g m g ' ( m )

Ficamos então com:

A ' m = d d m ∫ 0 4 m 2 2 x d x - d d m ∫ 0 4 m 2 m x d x = d d m ∫ 0 4 m 2 2 x d x - d d m m ∫ 0 4 m 2 x d x

A ' m = d d m ∫ 0 4 m 2 2 x d x - d d m m ⋅ ∫ 0 4 m 2 x d x - m d d m ∫ 0 4 m 2 x d x

Na integral em que temos m multiplicando, tivemos que utilizar a regra do produto da derivada. Sendo assim,

A ' m = 2 4 m 2 ⋅ 4 m 2 ' - ∫ 0 4 m 2 x d x - m 4 m 2 4 m 2 '

Aqui vamos usar 4 m 2 ' = 4 m - 2 ' = - 8 m - 3 = - 8 m 3 .

A ' m = 4 m ⋅ - 8 m 3 - ∫ 0 4 m 2 x d x - 4 m - 8 m 3 = - 32 m 4 + 32 m 4 - ∫ 0 4 m 2 x d x

∫ 0 4 m 2 x d x = x 2 2 0 4 m 2 = 4 m 2 2 2 = 16 m 4 2 = 8 m 4

Dessa forma,

A ' m = - ∫ 0 4 m 2 x d x = - 8 m 4

Sendo assim a taxa de variação da área em relação a m é - 8 m 4 .

Resposta

A ' m = - 8 m 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. [Em cada exercício, suponha que f e g sejam funções contínuas distintas de [ a , b ] e que A denote a área da região delimit
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. [Em cada exercício, suponha que f e g sejam funções contínuas distintas de [ a , b ] e que A denote a área da região delimit
Dê uma estimativa para o valor de k ( 0k1 ), tal que a região englobada por y = 1 / 1 - x 2 , y = x ,x = 0 e x = k tenha uma área de 1 unidade.
Use um recurso gráfico computacional, quando necessário, para encontrar a área da região englobada pelas curvas. x = y 3 - y , x = 0
Encontre a área da região englobada pela parábola y = 2 x - x 2 e o eixo x .Encontre o valor de m de tal forma que a reta y = m x divida a região de (a) em duas regiões de mesma área.