Enunciado

Determine m de tal forma que a região acima da curva y = m x 2     m > 0 , à direita do eixo y e abaixo da reta y = m tenha uma área de K unidades quadradas, onde K > 0 .

Passo 1

Vamos lá! A primeira coisa a se fazer é desenhar a curva e a reta que o problema deu.

Temos a curva y = m x 2 que é justamente uma parábola com vértice na origem e concavidade para cima pois o coeficiente do x 2 é m > 0 .

Também temos a reta y = m com m > 0 e isso nos dá uma reta horizontal acima do eixo x . Podemos então esboçar isso tudo em um plano cartesiano.

Como vocês podem observar, vamos ter uma região acima da parábola e abaixo da reta, a questão pediu para determinar m de tal forma que a região à direita do eixo y (região verde) seja K unidades quadradas.

Passo 2

Agora nós vamos utilizar a integral definida para representar a região pedida, a princípio faremos a integral da função maior menos a menor, ou seja, m - m x 2 e com o intervalo de integração [ 0 , b ] para pegar a área entre as curvas.

A = ∫ 0 b m - m x 2 d x

Percebam que o limite superior b é a abscissa do ponto de interseção entre a reta e a parábola. Vejamos que ponto é esse então da seguinte forma:

m = m x 2     →       m x 2 - m = 0     → m x 2 - 1 = 0

Daí temos que m = 0 , x = 1 ou x = - 1 , o único valor possível é x = 1 pois estamos à direita do eixo y e m > 0 . Dessa forma, a área é dada por:

A = ∫ 0 1 m - m x 2 d x = ∫ 0 1 m ( 1 - x 2 ) d x = m ∫ 0 1 ( 1 - x 2 ) d x

Passo 3

Para resolver a integral, vamos utilizar:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1             n ≠ - 1

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f . Diante disso, ficamos com:

A = m ∫ 0 1 ( 1 - x 2 ) d x = m x - x 3 3 0 1 = m 1 - 1 3 3 - m 0 - 0 3 3

A = m 2 3 = 2 m 3     u . a

Passo 4

Bom, achamos a área entre as curvas da região pedida, mas a questão quer saber qual valor de m torna essa área igual a K . Então façamos o seguinte:

A = 2 m 3 = K       →         m = 3 K 2

Resposta

m = 3 K 2

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