Enunciado

Se K unidades quadradas for a área de um triângulo retângulo, 10 unidades será o comprimento da hipotenusa e α será a medida em radianos de um ângulo agudo, então K = 25 s e n 2 α . Ache a taxa de variação instantânea de K com relação a α quando (a) α = π 6 ; (b) α = π 4 ; (c) α = π .

Passo 1

A questão já nos deu a função de α , como ela pede a taxa de variação, vamos precisar derivar a função dada:

K α = 25 s e n 2 α

Ou seja,

K ' ( α ) = d d α ( 25 s e n 2 α )

Passo 2

Vamos começar aplicando a Regra da Cadeia. Primeiro derivamos a função de fora, que é o seno:

d d t 25 s e n t = 25 c o s t

Então substituímos t no último resultado pela função de dentro, e multiplicamos pela derivada dela:

K ' ( α ) = 25 c o s 2 α d d α ( 2 α )

Resolvendo a derivada que apareceu:

K ' α = 25 c o s 2 α .   2

K ' α = 50 c o s 2 α

Passo 3

E agora vamos apenas colocar os valores dados nas letras do enunciado

Para (a):

K ' π 6 = 50 c o s 2 π 6 = 50 c o s π 3 = 25   u

Passo 4

Para (b):

K ' π 4 = 50 c o s 2 π 4 = 50 c o s π 2 = 0

Passo 5

E por final, para (c):

K ' π = 50 c o s π = 50   u

Resposta

  1. K ' π 6 =   25   u
  2. K ' π 4 = 0
  3. K ' π = 50   u
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