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Nos exercícios de 39 a 42, uma partícula move-se ao longo de uma reta de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância orientada da partícula até a origem, em t s. (a) Qual será a velocidade da partícula em t s? (b) Ache a velocidade instantânea da partícula em t s para cada valor dado de t1.

41. s = 5 s e n π t + 3 c o s π t ;     t 1 é   1 4 ,   3 2

Passo 1

A questão nos dá a função de como a partícula se move sobre uma reta à medida que o tempo passa:

s ( t ) = 5 s e n π t + 3 c o s π t

E a letra (a) pede para a gente calcular a velocidade da partícula. Como a velocidade é uma taxa de deslocamento, precisamos fazer a derivada da função s.

Passo 2

Para calcularmos derivada de s:

s ' ( t ) = d d t ( 5 s e n π t + 3 c o s π t )

Vamos separar cada um dos termos da soma, no primeiro, aplicaremos a Regra da Cadeia para calcularmos a derivada:

d d t ( 5 s e n π t )

Fazemos a derivada da função de fora

d d x 5 s e n x = 5 c o s x

E substituímos x pela função de dentro, depois multiplicamos pela derivada da função de dentro:

5 c o s π t d d t π t

Calculando a derivada que sobrou e multiplicando teremos:

5 π c o s π t

Passo 3

No outro termo da soma,

d d t ( 3 c o s π t )

Também vamos aplicar a Regra da Cadeia:

d d x 3 c o s x = - 3 s e n x

Substituímos x pela função de dentro e então multiplicamos pela derivada função de dentro:

- 3 s e n π t d d t π t

Calculando o que sobrou:

- 3 π s e n π t

Passo 4

Agora colocamos os resultados na derivada de s, que vai ficar:

v = s ' ( t ) = 5 π c o s π t - 3 π s e n π t

E essa é a equação da velocidade da partícula.

Passo 5

Com o resultado da letra (a), devemos substituir os valores dados de t1 para obtermos cada velocidade instantânea da letra (b),

Para t 1 = 1 4 :

s ' t = 5 π c o s π 4 - 3 π s e n π 4 = 2 2 5 π - 3 π = π 2   c m / s

Para t 1 = 3 2 :

s ' 3 2 = 5 π c o s 3 π 2 - 3 π s e n 3 π 2 = - 5 π - 3 π 3 2 ≅ 23,87   c m / s

Resposta

  1. v = 5 π c o s π t - 3 π s e n π t
  2. Para t 1 = 1 4 → v = 2 π 2   c m / s  

Para t 1 = 3 2 → v = 23 , 87   c m / s  

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