Enunciado

Usando o método das camadas cilíndricas, monte uma integral (mas não a calcule) para o volume do sólido gerado quando a região R é girada em torno

( a ) da reta x = 1 e ( b ) da reta y = - 1 .

R é a região delimitada pelos gráficos y = x , y = 0 e x = 1 .

Passo 1

Bom galera, vamos começar delimitando a área:

Passo 2

Belezinha, vamos calcular o volume integrando primeiro pelo eixo x , então temos o nosso raio 1 - x e o intervalo é 0 ≤ x ≤ 1 , e a altura é y = x , logo nossa integral vai ficar:

V = 2 π ∫ 0 1 1 - x x   d x

→ V = 2 π ∫ 0 1 x - x 2   d x

Passo 3

Show de bolinhas, agora integrando pelo eixo y , a gente tem o raio 1 + y , no intervalo 0 ≤ y ≤ 1 , a altura do nosso cilindro é 1 - y , assim o volume é dado por:

V = 2 π ∫ 0 1 1 + y 1 - y   d y

→ V = 2 π ∫ 0 1 1 - y 2   d y

Resposta

( a ) V = 2 π ∫ 0 1 x - x 2   d x

( b ) V = 2 π ∫ 0 1 1 - y 2   d y

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