Enunciado

Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?

a) f → x , y = e x sen ⁡ y , e x cos ⁡ y em R 2

Passo 1

Pelo teorema 6.9 . 3 , se rot ⁡ f → = 0 , podemos afirmar que o campo é conservativo, e que f → admite uma função potencial f x , y .

Passo 2

Vamos então calcular rot ⁡ f → para verificar polo teorema 6.9 . 3 se o campo é conservativo.

Então basta fazermos o seguinte:

rot ⁡ f → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 f 3

rot ⁡ f → = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Passo 3

Aplicando a formula cima em f → temos:

rot ⁡ f → = ∂ 0 ∂ y - ∂ e x cos ⁡ y ∂ z i → + ∂ e x sen ⁡ y ∂ z - ∂ 0 ∂ x j → + ∂ e x cos ⁡ y ∂ x - ∂ e x sen ⁡ y ∂ y k →

rot ⁡ f → = 0 i → + 0 j → + e x cos ⁡ y - e x cos ⁡ y k →

rot ⁡ f → = 0 →

Podemos afirmar que o campo é conservativo em R 2 , e que f → admite uma função potencial f x , y .

Resposta

rot ⁡ f → = 0 →

Campo vetorial conservativo em R 2 , f → admite uma função potencial f x , y .

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