Enunciado

Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada.

∬ S f → ⋅ n → d S

Sendo f → = x 2 y , 2 x z , z 2 e S a superfície exterior do paralelepípedo retangular delimitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 1 ,   y = 2 ,   z = 3 .

Passo 1

O teorema da divergência relaciona uma integral tripla sobre um sólido e uma integral dupla sobre a superfície fronteira deste sólido.

Seja T um sólido no espaço, limitado por uma superfície orientável S . Se n → é a normal unitária exterior a S e se f → = f 1 i → + f 2 j → + f 3 k → é uma função vetorial contínua que possui derivadas parciais de 1 ª ordem contínuas em um domínio que contém T , então

∬ S f → ⋅ n → d S = ∭ T ∇ ⋅ f → d V

Assim tendo introduzido formalmente o nosso teorema, podemos agora começar a aplica-lo e começar a nos familiarizarmos com ele.

Passo 2

A Primeira coisa que vamos fazer, é tentar identificar algumas coisas que nos foram dadas

Temos que nossa f → é

f → = x 2 y , 2 x z , z 2

E assim temos que o divergente será

∇ ⋅ f → = ( ∂ x 2 y ∂ x + ∂ 2 x z ∂ y + ∂ z 2 ∂ z = 2 x y + 2 z

Nosso paralelepípedo é limitado pelos planos coordenados x = 0 , y = 0 e z = 0 e os planos dados x = 1 , y = 2 e z = 3 . Assim os limites de integração são

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 2

0 ≤ z ≤ 3

Passo 3

Assim nossa integral pode ser escrita como

∫ 0 1 ∫ 0 2 ∫ 0 3 2 x y + 2 z d z d y d x

Que é uma integral simples

∫ 0 1 ∫ 0 2 2 x y z + z 2 0 3 d y d x

Que fica

= ∫ 0 1 ∫ 0 2 6 x y + 9 d y   d x

Seguindo integrando agora em y , temos

= ∫ 0 1 3 x y 2 + 9 y 0 2 d x

Que fica

= ∫ 0 1 12 x + 18 d x = 6 x 2 + 18 x 0 1 = 24  

Resposta

24

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