Calcule o laplaciano da função φ dada.

  1. phi(x, y) = xy
  2. phi(x, y) = ln(x^2 + y^2)
  3. φ(x, y) = arctg(x/y), y > 0
  4. φ(x, y) = 1 / 4 \* e^(x^2-y^2)

Passo 1

Vamos lá, o laplaciano é calculado assim:

∇ 2 φ = ∂ 2 φ ∂ 2 x + ∂ 2 φ ∂ 2 y

Na primeira então a gente tem:

  1. ∇ φ = ∂ x y ∂ x + ∂ x y ∂ y = y + x
  2. Derivamos de novo...

    ∇ 2 φ = ∂ ( y ) ∂ x + ∂ x ∂ y = 0 + 0 = 0

    Boa! É só isso aqui...

    Passo 2

    Bora pra segunda função...

  3. Fazendo as primeiras derivadas parciais, temos:
  4. ∂ ln ⁡ x 2 + y 2 ∂ x + ∂ ln ⁡ x 2 + y 2 ∂ y = 2 x x 2 + y 2 + 2 y x 2 + y 2  

    Beleza, agora a gente faz as derivadas parciais delas de novo...

    ∇ 2 φ = ∂ 2 x x 2 + y 2 ∂ x + ∂ 2 y x 2 + y 2 ∂ y

    = 2 x 2 + y 2 - 2 x 2 x x 2 + y 2 2 + 2 x 2 + y 2 - 2 y 2 y x 2 + y 2 2  

    = 2 x 2 + 2 y 2 - 4 x 2 x 2 + y 2 2 + 2 x 2 + 2 y 2 - 4 y 2 x 2 + y 2 2

    = 2 y 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 2 + 2 x 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 2

    = 0  

    E... foi mais uma.

    Passo 3

  5. Vamos fazer as primeiras derivadas parciais...
  6. ∇ φ = ∂ a r c t g x y ∂ x + ∂ a r c t g x y ∂ y

    = 1 1 + x y 2 1 y + 1 1 + x y 2 1 y

    Agora a gente faz as derivadas parciais de novo...

    ∇ 2 φ = ∂ 1 1 + x y 2 1 y ∂ x + ∂ 1 1 + x y 2 - x y 2 ∂ y

    ∇ 2 φ = - 2 x y y 2 + x 2 2 + 2 x y y 2 + x 2 2

    = 0

    (de novo?!)

    Beleza... vamos para a última.

    Passo 4

  7. De novo, vamos começar derivando a primeira vez...

∇ φ = ∂ 1 4 e x 2 - y 2 ∂ x + ∂ 1 4 e x 2 - y 2 ∂ y

= e x 2 - y 2 x 2 + - e x 2 - y 2 y 2  

Derivamos cada um parcialmente agora...

∇ 2 φ = ∂ e x 2 - y 2 x 2 ∂ x + ∂ - e x 2 - y 2 y 2 ∂ y

= e x 2 - y 2 x 2 + e x 2 - y 2 2 + e x 2 + y 2 y 2 - e x 2 - y 2 2

= x 2 + y 2 e x 2 - y 2

Prontinho! Todos os laplacianos calculados😉

Resposta

  1. 0
  2. 0
  3. 0
  4. x 2 + y 2 e x 2 - y 2
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