Enunciado

Use a aproximação linear (ou diferencial) para estimar o número dado.

cos ⁡ 29 °

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente usar uma aproximação linear (ou diferencial) para estimar o valor de cos ⁡ 29 ° .

Pra isso, a gente precisa lembrar que a reta tangente é a reta que melhor aproxima uma função em um ponto. E a função linear cujo gráfico é essa reta tangente é dada por:

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

Na notação de diferenciais, essa aproximação linear pode ser escrita como:

f a + d x ≈ f a + d y

Onde a é um ponto que arbitramos, próximo ao nosso ponto de interesse ( x = cos ⁡ 29 ° ), e d y = f ' x d x .

Como a questão não nos deu a função nem o ponto, nosso primeiro passo é definir essa função e sua derivada. Depois, definimos um ponto próximo ao valor dado e calculamos o valor da função e da derivada no ponto. Por fim, basta somarmos a diferencial ao valor da função no ponto para obtermos nossa aproximação.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar definindo a nossa função. Como temos um cosseno, podemos escrever:

y = f x = cos ⁡ x

Derivando essa função, vamos ter:

d y d x = - sin ⁡ x

Agora vamos definir a = 30 ° , porque é um ponto próximo de x = 29 e conhecemos o valor do cosseno e do seno desse ângulo. Dessa forma, temos:

d x = - 1 °

d y = - sin ⁡ 30 ° ∙ - π 180

Como sin ⁡ 30 ° = 1 2 , convertendo para radianos, ficamos com:

d y = π 360

Assim, temos:

cos ⁡ 29 ° = f 29 °

Mas como vimos no passo 1 , f a + d x ≈ f a + d y . Então nossa aproximação é dada por:

f 29 ° ≈ f 30 ° + d y

E substituindo f 30 ° = 3 2 e d y = π 360 , temos:

f 29 ° ≈ 3 2 + π 360

f 29 ° ≈ π + 180 3 360

Ou

f 29 ° ≈ 0,875

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0,875

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