Enunciado

43) Suponha que a única informação que temos sobre uma função f é que f 1 = 5 e que o gráfico de sua derivada é como mostrado.

(a) Use uma aproximação linear para estimar f 0,9 e f ( 1,1 ) .

(b) Suas estimativas na parte (a) são muito grandes ou pequenas? Explique.

Passo 1

Item a:

Para obter a linearização L ( x ) uma função f x , devemos utilizar a aproximação da função em a :

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

Temos que f 1 = 5 e pelo gráfico, podemos ver que f ' ( 1 ) é um valor extremamente próximo de 2 podendo ser até mesmo o próprio valor. Vamos considerar então, f ' 1 = 2 . Para a = 1 , temos então:

L x = 5 + 2 ( x - 1 )

L x = 5 + 2 x - 2

L x = 2 x + 3

Passo 2

Para f 0,9 :

L 0,9 = 2 0,9 + 3

L 0,9 = 4,8

f 0,9 ≈ L 0,9 = 4,8

f 0,9 ≈ 4,8

Para f 1,1 :

L 1,1 = 2 1,1 + 3

L 1,1 = 5,2

f 1,1 ≈ L 1,1 = 5,2

f 1,1 ≈ 5,2

Passo 3

Item b:

Pelo gráfico, vemos a derivada da função é positiva e decrescente, isso implica que a função é crescente e possui a concavidade é votada para baixo. Ou seja, a função tem um crescimento menor a as retas tangentes estão acima da função f , logo, as estimativas são muito grandes em relação a f .

Resposta

(a) f 0,9 ≈ 4,8 e f 1,1 ≈ 5,2

(b) As estimativas são muito grandes em relação a f .

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